Валентинов В.А. Эконометрика. Лекция 17. Временные ряды данных: характеристики

и общие понятия (модуль 5)
17.1. Определение временного ряда
17.2. Основные свойства

экономического временного ряда
17.3. Статистические характеристики временного ряда
17.4. Периодограмма

и общие понятия (модуль 5)
17.1. Определение временного ряда
Экономический временной ряд

– временная последовательность значений показателя экономического процесса.
Временной ряд переменной обозначается как Уt,
где Уt – отдельное наблюдение, называемое уровнем ряда, которое является случайной величиной, которая является характеристикой экономического процесса и принимает одно (из совокупности возможных значений) его значение (уровень) в фиксированный момент времени t.
t (1, …, n) – порядковый номер времени;
(tк+1 – tк) – постоянный временной шаг, через который измеряется значение переменной. В эконометрике нет ограничений на величину временного шага, обычно им могут быть: сутки, месяц, квартал, год, десятилетия.
n – число уровней (длина, размер, количество значений, но не принято говорить объем выборки) временного ряда.

и общие понятия (модуль 5)
17.2. Основные свойства экономического временного ряда
Приводим

основные свойства экономического временного ряда:
1). Текущее состояние экономической системы испытывают влияния прошлых, настоящих и будущих значений переменных этой системы.
2). Для всех явлений в природе между причиной и следствием существует временной лаг или временная задержка.
3). Все временные экономические процессы происходят циклически, которые могут содержать периодические волны: короткие и длинные.
4). “Свежие” значения временного ряда оказывают большее влияние на его прогнозное значение, чем “старые” значения.
5). При построении доверительных интервалов прогноза и уравнения регрессии следует считать боле точным не среднее значение временного ряда, а его последнее значение.
6) В численных значениях временного ряда не должно быть пропусков. Если имеется пропуск, то он восстанавливается средним значением, обычно из ближайших к нему чисел.
7) В некоторой литературе к свойствам временного ряда относят три составляющих временного ряда: тренд, циклическую составляющую и случайное возмущение, которые более подробно изучаются в теме 18.

и общие понятия (модуль 5)
17.3. Статистические характеристики временного ряда
Временные ряды

могут иметь следующие статистические характеристики:
1 среднее арифметическое значение;
2 дисперсия,
3 автокорреляция,
4 автокорреляционная функция,
5 периодограмма.

и общие понятия (модуль 5)
Среднее арифметическое значение временного ряда Уt

вычисляется по следующей формуле:
.


Дисперсия временного ряда вычисляется по формуле

S2= (Σ(Уt-Ус)2)/(n-1)

Автокорреляция k - ого порядка временного ряда Уt – коэффициент корреляции r(Уt,Уt+k), рассчитанный между исходным временным рядом Уt и этим же временным рядом, только сдвинутым вперед на k дат Уt+k.
Автокорреляция показывает степень влияния предыдущих значений временного на их последующие значения с временным сдвигом, равным k датам.




Примечание. В расчетах автокорреляции k –ого порядка должны участвовать только заполненные пары чисел анализируемых рядов, это значит, что в расчетах не должны участвовать первые k чисел ряда Уt и k последних чисел ряда Уt+k.

и общие понятия (модуль 5)
Автокорреляционная функция – зависимость коэффициентов автокорреляции

от величины их порядка k.
Автокорреляция может изменяться от – 1 до + 1.
Если временный ряд содержит периодическую сезонную составляющую с периодом 4 месяца, то автокорреляционная функция будет иметь наибольшее положительное значение при к = 4, наименьшее отрицательное значение при к = 4/2= 2.

и общие понятия (модуль 5)
17.4. Периодограмма
В эконометрической литературе встречается несколько

видов периодограмм. Предлагаем наиболее простой вид периодограмм, основанный на свойстве резонанса.
Периодограмма временного ряда является графиком зависимости ошибки модели (Е) от периода периодической составляющей (Т), чем ближе значение периода Т к периоду периодической составляющей, тем меньше ошибка модели Е.
Модель временного ряда с периодической составляющей имеет следующий вид:
Уt = а0 + а1*t + а2*Соs(2t/T) + а3*Sin(2t/T) + еt
где t- время,
Т – период колебания, изменяющийся от 2 до 2n, которые задает исследователь;
a0. a1 ,a2, a3 – коэффициенты уравнения регрессии, определяемый МНК.
а0 + а1*t – линейная функция, превращающая нестационарный ряд в стационарный.
Ошибка модели Е определяется с помощью функции ЛИНЕЙН.

и общие понятия (модуль 5)
Минимумы значений периодограммы указывают на наличие

во временном ряду периодических составляющих с заданными периодами.
Обнаруженные периоды характеризуют периодические составляющие временного ряда, среди которых надо исключить ложные периоды.
Ложная периодичность относится к периодам (эхам), которые являются кратными величине основного периода. Основной период имеет наименьшую ошибку модели, а кратные периоды или ложные периоды имеют увеличенную ошибку модели. Например, квартальная периодическая составляющая 3 мес. порождает эхо на периодах: 32=6 месяцев или полугодовой период, 33 =9 месяцев, 34 =12 месяцев или годовой период и т. д.
Кендел М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981, с. 110