Слайд 1Параллельные вычисления
Большинство современных задач моделируются с использованием суперкомьютеров, состоящих из
множества параллельно работающих процессоров..
Слайд 2Вычислительные кластеры МСЦ РАН
MBC-6000
Предназначен для решения сложных научно-технических задач.
Пиковая производительность
составляет 1.64 TFLOPS.
Общий объем оперативной памяти решающего поля -
256 Гбайт.
Решающее поле состоит из 256 процессоров Intel Itanium 2.
Слайд 3Вычислительные кластеры МСЦ РАН
МВС-100K
Пиковая производительность 227.94 TFLOPS. В настоящий момент
является одним из самых мощных суперкомпьютеров СНГ.
В состав входят
1275 модуля, оснащенных двумя 4/6-ядерными процессорами Intel Xeon (всего 10572 ядра).
Для объединения узлов в единое решающее поле используется технология Infiniband.
Слайд 4Методы распараллеливания
Требуется специальная адаптация численного кода к параллельной архитектуре.
Явные методы
могут быть адаптированы путем разбиения расчетной сетки на подобласти. При
этом каждая подобласть обрабатывается одним процессором. Способ разбиения зависит от геометрии задачи и размерности расчетной области. Взаимодействие процессоров требуется только при переходе к следующему временному шагу.
Взаимодействие процессоров осуществляется путем пересылки данных от одного процессора к другому. Это необходимо для синхронизации значений на границах подобластей и временного шага.
Слайд 8Эффективность распараллеливания
Тестирование производительности параллельного численного кода проводится с помощью измерения
времени, необходимого для расчета некоторого количества временных шагов.
T(N) – время
счета программы на N процессорах.
Spd определяет ускорение работы параллельной программы по сравнению с однопроцессорным вариантом.
Eff демонстрирует влияние накладных расходов (передача данных по сети) на время счета программы.
Слайд 9Эффективность распараллеливания
Слайд 10Дискретизация
Для численного решения дифференциальных уравнений необходимо перейти от дифференциальных операторов
к конечным разностям.
В результате такой аппроксимации исходная система
дифференциальных
уравнений перейдет в систему алгебраических уравнений. Точность в общем случае будет тем выше, чем больше количество этих алгебраических уравнений.
Дискретизация расчетной области сводится к замене
непрерывных переменных их дискретными аналогами. При
этом вся расчетная область разбивается на конечное число
ячеек.
Слайд 11Дискретизация
Способы аппроксимации могут отличаться в зависимости от вида и смысла
дифференциального оператора.
Метод конечных разностей
Представление производных конечными разностями.
Метод конечных объемов
Использование интегральных
законов сохранения.
Метод конечных элементов
Задача формулируется с помощью функций, каждая
из которых задана в своей подобласти.
Спектральный метод
Решение представляется в виде конечной суммы по
базисным функциям.
Слайд 12Дискретизация
Пример дискретизации одномерной расчетной области.
Слайд 13Дискретный анализ Фурье
При дискретизации часть информации неминуемо теряется. Возникает некоторая
неопределенность в значениях величин. Два примера дискретизации величины u(x). Набор
значений в узлах ui дает неполное представление исходной величины u(x). Но чем больше узлов, тем лучше представление.
Слайд 14Расчетные сетки
Все расчетные сетки по типу логических связей между узлами
можно разделить на два типа: структурированные и неструктурированные.
Структурированные расчетные сетки
определяются упорядоченной структурой узлов с явно выраженными сеточными направлениями. В общем случае эти направления можно трактовать как оси некоторой криволинейной системы координат. Ячейки такой сетки являются топологическими прямоугольниками (двумерный случай) или параллелепипедами (трехмерный случай). Узлы такой сетки упорядочены по индексами:
Слайд 15Расчетные сетки
В криволинейной системе координат (X,Y), определяющейся
сеточными направлениями (индексами), структурированная
сетка является равномерной по всем координатам.
Слайд 16Расчетные сетки
Неструктурированные сетки определяются простым набором узлов
Логическая связь между узлами
сетки задается произвольным образом. Как правило для этого используются треугольные
ячейки. Для этого можно
использовать алгоритм
триангуляции Делоне.
Слайд 19Адаптация сеток
Адаптивными называются сетки, каким-либо образом приспосабливающиеся к особенностям
течения. Они позволяют без увеличения вычислительных затрат повышать точность расчета.
В основе всех методов построения адаптивных сеток положен принцип оптимального распределения узлов сетки в расчетной области. Это распределение узлов должно учитывать
взаимное расположение и скорости отдельных подобластей с
какими-либо особенностями течения: большие градиенты,
сильные разрывы, межфазные границы и т.п.
Адаптивные сетки можно разделить на два типа:
1) Геометрически адаптивные
2) Динамически адаптивные
Слайд 20Адаптация сеток
Динамически адаптивные сетки делятся на
а) Адаптивно-подвижные
б) Адаптивно-встраиваимые
В первом
случае количество узлов сетки остается постоянным, но меняется их взаимное
расположение. Во втором случае изменяется число узлов сетки.
Слайд 21Диффузия и дисперсия
Спектральный метод, основанный на дискретном анализе Фурье,
позволяет провести классификацию ошибок разностной схемы. Наиболее важные амплитудные и
фазовые ошибки связаны с явлением диффузии и дисперсии на разностной сетке. Диффузия приводит к размытию профилей, а дисперсия – к появлению нефизических осцилляций в численном решении.