Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Введение в предмет Математический аппарат для построения компьютерных систем
Содержание
- 1. Введение в предмет Математический аппарат для построения компьютерных систем
- 2. Научиться строить компьютерные системы при помощи математического
- 3. Методы оценки характеристик компьютерных систем Для развития,
- 4. Методы моделированияпроведение измерений трудоемко и дорого, не
- 5. Модель системы это материальный или логической объект,
- 6. Имитационная модель компьютерной системы описывает их функционирование
- 7. Имитационные модели компьютерной системы в зависимости от
- 8. Аналитическая модельНабор математических соотношений, которые могут быть
- 9. Детерминированные и вероятностные моделиК категории детерминированных (определённым)
- 10. Препятствие для использования детерминированных моделей Одним из
- 11. Аналитические моделиВероятностный характер отражает реально наблюдаемую случайную
- 12. Существенные недостатки моделейотсутствие возможности комплексно рассматривать не
- 13. Контрольные вопросы 1. Почему при построении компьютерных
- 14. Анализ публикаций в мировой и отечественной практике
- 15. Вероятность
- 16. Обработка экспериментальных данных Исследователь всегда пытается найти
- 17. Определение вероятности Испытание, событие, случайная величина
- 18. Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.
- 19. События
- 20. Случайные событияТеория вероятностей рассматривает случайные события. При
- 21. Случайные событияДругим примером события, часто приводимым в
- 22. Случайные события. ТерминологияСлучайные события называются несовместными если
- 23. Случайная величинаВ силу действия большого числа неконтролируемых
- 24. Вероятность событий Вероятность какого либо события –
- 25. Схема испытанийПусть испытание имеет n возможных несовместных
- 26. СобытияПри n равновозможных несовместных исходах интерес представляет
- 27. Пьер-Симон Лаплас, французский математик
- 28. Статистическое определение вероятностиБудем фиксировать число испытаний, в
- 29. Экспериментальным фактом является то, что частость события
- 30. Математически неограниченное число повторений испытания записывается в
- 31. Справедливо утверждение, называемое законом больших чисел или
- 32. Действия над событиями Понятие ― это поле
- 33. Произведением (пересечением) событий А и В называется
- 34. Невозможное событие – событие, которое не может
- 35. Противоположным к А событием называется событие, состоящее
- 36. Вопросы1) Что называется испытанием (опытом) в теории
- 37. Исчисление вероятностей Примеры непосредственного определения вероятностей по
- 38. Решение 1:В данном испытании имеется 6 равновозможных
- 39. Решение 2:В данном испытании имеется 2 равновозможных
- 40. Пример 2 В урне 5 белых
- 41. Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 1.Вероятность
- 42. 3. Вероятность невозможного события равна нулю 4.
- 43. Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
- 44. Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
- 45. Основные правила вычисления вероятностей сложных событий 9.
- 46. 10. Формула полной вероятности. Если событие А
- 47. Пример 3 В урне 5 белых, 20
- 48. РешениеПусть событие А – появление белого или
- 49. Пример 4 Ведутся поиски двух преступников. Каждый
- 50. РешениеПусть событие А – ―обнаружен хотя бы
- 51. Пример 5 а) Преступник имеет 3 ключа.
- 52. РешениеПусть событие А – открыты все двери.
- 53. Пример 5 б) Изменим задачу: считаем, что
- 54. РешениеСобытие А – ―открыты все двери. Опять,
- 55. Пример 6 Ведутся поиски двух преступников. Каждый
- 56. РешениеПусть событие А – обнаружены два преступника.
- 57. Пример 7 Найти вероятность того, что при
- 58. Пример 8 В проведении операции по освобождению
- 59. РешениеПусть событие А – преступник поражен. Разобьем
- 60. Комбинаторика Правило сложенияЕсли первое действие можно
- 61. Пример 9Рекламный плакат мебельной фабрики утверждает, что
- 62. РешениеВычислим, сколькими способами можно расставить 5 шкафов
- 63. Пример 10Из тщательно перемешанной колоды в 52
- 64. РешениеВ данном опыте производится 3 действия: вытягивание
- 65. РешениеВсего различных вариантов расположения карт на руках
- 66. Число сочетаний, размещений и перестановок Если стоит
- 67. Если стоит задача вычислить сколькими способами можно
- 68. Но, поскольку нам не важно какой именно
- 69. Пример 11В совбезе ООН 11 членов: 5
- 70. РешениеТак, как голосуют 11 делегаций и у
- 71. Схема Бернулли
- 72. Схема Бернулли
- 73. Вопросы1) Что называется испытанием (опытом) в теории
- 74. Скачать презентанцию
Научиться строить компьютерные системы при помощи математического аппаратаСейчас - Тенденция применения теории графов совместно с теорией нечетких множеств и теорией вероятности для построения компьютерных систем. В курсе три раздела: теория вероятностей,
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Введение в предмет «Математический аппарат для построения компьютерных систем»
Дисциплина: «Математический
аппарат для построения компьютерных систем»
Слайд 2Научиться строить компьютерные системы при помощи математического аппарата
Сейчас - Тенденция
применения теории графов совместно с теорией нечетких множеств и теорией
вероятности для построения компьютерных систем.В курсе три раздела: теория вероятностей, теорию массовых очередей и теорию графов.
Слайд 3Методы оценки характеристик компьютерных систем
Для развития, построения и управления
компьютерными системами необходимо оценивать следующие характеристики:
время реакции,
время передачи,
коэффициент загрузки и другие.
Слайд 4Методы моделирования
проведение измерений трудоемко и дорого, не все параметры поддаются
измерению,
не все параметры, измеренные в компьютерной системе — аналоге могут
быть адекватны разрабатываемой сети, поэтому для получения требуемых временных параметров широко используются методы моделирования.
модель начинается с концептуальной модели, которая является основой для аналитической или имитационной.
Слайд 5Модель системы
это материальный или логической объект, построенный по определенным
правилам представления моделируемых свойств системы для изучения функционирования системы.
Слайд 6Имитационная модель компьютерной системы
описывает их функционирование в виде последовательности
операций или групп операций, выполняемых компьютерами.
Составными частями имитационной модели
являются описания элементов, составляющих систему, и описание структуры системы. Описание представляется в виде программ.
Поэтому процесс имитационного моделирования сводится к проведению экспериментов, состоящих из серии реализации программ на компьютере при различных исходных данных.
Слайд 7Имитационные модели компьютерной системы в зависимости от используемых входных данных
можно разделить на трассоориентированные и статистические.
В трассоориентированных имитационных моделях
входные данные задаются трассой, т.е. потоком событий, которые регистрируются в хронологическом порядке.В статистических имитационных моделях входные данные задаются с помощью датчиков случайных чисел, характеристики которых известны.
Имитационная модель компьютерной системы
Слайд 8Аналитическая модель
Набор математических соотношений, которые могут быть использованы для вычисления
количественных значений требуемых параметров системы по заданным параметрам системы и
рабочей нагрузки.Аналитические модели используют для описания объектов.
Любая аналитическая модель строится на основе понятий и символики некоторой теории.
Слайд 9Детерминированные и вероятностные модели
К категории детерминированных (определённым) относятся модели, использующие
теоретические концепции машины Тьюринга, сетей Петри, автоматы, графические модели программ.
Слайд 10Препятствие для использования детерминированных моделей
Одним из главных в исследованиях
оценки производительности является их относительная неспособность отображать изменчивость рабочей нагрузки,
наблюдаемую в любой компьютерной системе.
Слайд 11Аналитические модели
Вероятностный характер отражает реально наблюдаемую случайную картину возникновения запросов
на ресурсы компьютерных систем и их составляющих компонент, а также
использование этих ресурсов.При применении моделей теории очередей для оценок ресурсов производительности, компьютерные системы и составляющие их компоненты рассматриваются как совокупность обслуживающих устройств, в качестве которых выступают различные компоненты системы:
центральный процессор, оперативная память, внешние запоминающие устройства, каналы и устройства ввода-вывода и т.д.
Слайд 12Существенные недостатки моделей
отсутствие возможности комплексно рассматривать не только передачу данных
по каналам связи, но и учитывать влияния обработки данных в
хостмашинах и коммуникационных контроллерах;невозможность учитывать в моделях вычислительных сетей влияние взаимосвязанных профилей протоколов, поддерживающих диалоговые системы обработки сообщений.
Слайд 13Контрольные вопросы
1. Почему при построении компьютерных систем необходимо использовать
моделирование?
2. В чем состоят основные трудности моделирования?
3. Назовите
(перечислите) основные характеристики, оценивающие качество функционирования компьютерных систем. 4. Назовите достоинства и недостатки аналитических и имитационных моделей.
5. Можно ли при разработке одной компьютерной системы использовать несколько различных моделей?
Слайд 14Анализ публикаций
в мировой и отечественной практике для решения задач
построения компьютерных систем все в большей степени используются аналитические методы,
которые требуют для своей реализации меньше вычислительных ресурсов и позволяют решать как задачи анализа, так и задачи оптимизации параметров.
Слайд 16Обработка экспериментальных данных
Исследователь всегда пытается найти ответ на следующие
вопросы:
Насколько точно полученные результаты можно обобщить для более широкой
совокупности (например, на всех жителей данного возраста)? Как хорошо его данные согласуются с данными других исследователей?
Насколько достоверно различие экспериментальных данных, полученных в разных группах испытуемых или в одной и той же группе, но в разные промежутки времени?
Существует ли связь между различными признаками, изучаемыми в проводимом исследовании, и если да, то насколько она сильна?
Слайд 17Определение вероятности
Испытание, событие, случайная величина
Под испытанием (опытом) в
теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного
комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания.Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.
Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного испытания, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании.
Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.
Слайд 18Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.
Качественная характеристика заключается
в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться
при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.Определение вероятности
Испытание, событие, случайная величина
Слайд 20Случайные события
Теория вероятностей рассматривает случайные события.
При этом предполагается, что
испытание может быть повторено неограниченное (по крайней мере, теоретически) число
раз.Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие.
Слайд 21Случайные события
Другим примером события, часто приводимым в учебниках по теории
вероятностей, является выпадение определенного числа очков (от 1 до 6)
при бросании игральной кости.События в теории вероятностей принято обозначать начальными прописными латинскими буквами А, В, С, ...
Слайд 22Случайные события. Терминология
Случайные события называются несовместными если появление одного исключает
появление другого.
В противном случае они называются совместными.
Если в результате опыта
произойдет хоть одно из некой группы событий, то они образуют полную группу. Появление хотя бы одного события из полной группы – достоверное событие. Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными.
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.
Слайд 23Случайная величина
В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины
могут принимать различные значения в результате испытания.
Причем до испытания
невозможно предсказать значение величины.
Слайд 24Вероятность событий
Вероятность какого либо события – численное выражение возможности
его наступления.
В некоторых простейших случаях вероятности событий могут быть
легко определены непосредственно исходя из условий испытаний.
Слайд 25Схема испытаний
Пусть испытание имеет n возможных несовместных исходов, т. е.
отдельных событий, могущих появиться в результате данного испытания; причем при
каждом повторении испытания возможен один и только один из этих исходов.Кроме того, пусть по условиям испытания, нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, т. е. все исходы являются равновозможными.
Слайд 26События
При n равновозможных несовместных исходах интерес представляет некоторое событие А,
появляющееcя при каждом из m исходов и не появляющееся при
остальных n–т исходах.Тогда принято говорить, что в данном испытании имеется P случаев, из которых т благоприятствуют появлению события А.
Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:
Формула (1) представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.
Слайд 28Статистическое определение вероятности
Будем фиксировать число испытаний, в результате которых появилось
некоторое событие А.
Пусть было проведено N испытаний, в результате
которых событие А появилось ровно m раз. Тогда число m называется частотой события, а отношение — m частостью (относительной
частотой) события.
Слайд 29Экспериментальным фактом является то, что частость события при большом числе
повторений испытания начинает мало изменяться и стабилизируется около некоторого определенного
значения,в то время как при малом числе повторений она принимает различные, совершенно случайные значения.
Поэтому интуитивно ясно, что если при неограниченном повторении испытания частость события будет стремиться к вполне определенному числовому значению, то это значение можно принять и качестве объективной характеристики события А.
Такое число Р(А), связанное с событием А, называется вероятностью события А.
Статистическое определение вероятности
Слайд 30Математически неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim)
при N, стремящемся к бесконечности :
Поскольку
m никогда не может превзойти N, то вероятность оказывается заключенной в интервале Статистическое определение вероятности
Слайд 31Справедливо утверждение, называемое законом больших чисел или теоремой Бернулли: если
N достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к
единице, отличие от Р(А) или просто р меньшелюбого наперед заданного положительного числа E или, в символьной записи,
Статистическое определение вероятности
Т.е. много раз бросая монету, мы ― почти наверняка будем получать примерно равные частоты выпадения герба и цифры.
Слайд 32Действия над событиями
Понятие ― это поле событий как совокупность
всех случайных событий данного испытания, для которых определены вероятности.
Сумма
(объединение) событий представляет собой сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Объединение событий обозначается как 
Слайд 33Произведением (пересечением) событий А и В называется их совместное появление.
Обозначается произведение событий как ,
Достоверным событием называется событие, которое
обязательно происходит в результате данного испытания. Оно обозначается обычно как Е. Действия над событиями
Слайд 34Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате
данного испытания. Принятое обозначение –
Несовместными называются события, которые в
результате данного испытания не могут произойти вместе. Примеры несовместных событий: попадание и промах при выстреле, выпадение двух и трех очков при бросании игральной кости. Действия над событиями
Слайд 35Противоположным к А событием называется событие, состоящее в непоявлении события
А .
Обозначается противоположное событие символом А.
Примеры противоположных событий: промах
и попадание при выстреле, выпадение герба или цифры при одном подбрасывании монеты. Действия над событиями
Слайд 36Вопросы
1) Что называется испытанием (опытом) в теории вероятностей?
2) Что
называется событием? Какие события бывают?
3) Что такое вероятность какого
либо события? Чему она равна? 4) Приведите основные правила вычисления вероятностей сложных событий.
5) Приведите основные правила комбинаторики.
Слайд 37Исчисление вероятностей
Примеры непосредственного определения вероятностей по формуле 1
Пример 1
Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней
которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: 1) выпадает 2 очка? 2) выпадает нечетное число очков? 
Слайд 38Решение 1:
В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1,
2, 3, 4, 5, 6 очков), так как нет оснований
предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (если, конечно, кость симметрична). Поэтому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном подбрасывании равнаСобытию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5), поэтому по формуле (1) получаем
Слайд 39Решение 2:
В данном испытании имеется 2 равновозможных исхода (выпадение четного
числа очков (т.е. 2, 4, 6) и нечетного), так как
кость симметрична, то очевидно, что эти исходы равновозможные.Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют 1 случай из двух, поэтому по формуле (1) получаем
Пространство элементарных событий непригодно для расчета вероятности того, что выпадает 2 очка, так как этому событию не благоприятствует не один из введенных нами элементарных исходов.
Слайд 40Пример 2
В урне 5 белых и 10 черных шаров,
не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад
вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?Решение. В этом примере имеется 15 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, причем ожидаемому событию (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому искомая вероятность составит
Слайд 41Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
1.Вероятность достоверного события равна
единице
2.Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Эти
два равенства являются аксиомами теории вероятностей, т. е. принимаются в качестве исходных, но требующих доказательства свойств вероятностей. На их основе строится вся теория вероятностей 
Слайд 423. Вероятность невозможного события равна нулю
4. Вероятность события, противоположного
событию А, равна
Эта формула оказывается полезной на практике в
тех случаях, когда вычисление вероятности непосредственно события А затруднительно, в то время как вероятность противоположного события находится просто. Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
Слайд 45Основные правила вычисления вероятностей сложных событий
9. Вычислим вероятность появления
хотя бы одного события в n испытаниях
А – появление
в n испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события. – интересующее нас событие не появлилось в n испытаниях ни разу.
А1 – интересующее нас событие появлилось в первом испытании.
А2 – интересующее нас событие появлилось во втором испытании.
….
Аn – интересующее нас событие появлилось в n-ом испытании.
Слайд 46
10. Формула полной вероятности.
Если событие А может произойти только
при появлении одного из несовместных событий Н1, Н2, …, Нn,
тоОсновные правила вычисления вероятностей сложных событий
Слайд 47Пример 3
В урне 5 белых, 20 красных и 10
черных шаров, не отличающихся по размеру.
Шары тщательно перемешивают и
затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?
Слайд 48Решение
Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем
это событие на более простые.
Пусть В1 – появление белого
шара, а В2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий.Следовательно Р(А)=Р(В1+В2).
Так как В1 и В2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий (формула 3) Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2).
Вычислим вероятности событий В1 и В2. В этом примере имеется 35 равновозможных (шары не отличаются по размеру) исходов опыта, событию В1 (появлению белого шара) благоприятствуют 5 из них, поэтому Аналогично,
Следовательно,
Слайд 49Пример 4
Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо
от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью
0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?
Слайд 50Решение
Пусть событие А – ―обнаружен хотя бы один преступник.
Разобьем
это событие на более простые.
Пусть В1 – обнаружен первый
преступник, а В2 – обнаружен второй преступник. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2).
Так как В1и В2 – совместные события, то по теореме о вероятности суммы событий (формула 4.6)
Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.
Можно решать и через обратное событие:
Слайд 51Пример 5 а)
Преступник имеет 3 ключа.
В темноте он
открывает дверь выбирая ключ случайным образом.
На открытие каждой из
дверей он тратит 5 сек. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 сек.
Слайд 52Решение
Пусть событие А – открыты все двери.
Разобьем это событие
на более простые.
Пусть В – открыта 1-я, С –
открыта 2-я, а D – открыта 3-я. Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD).
По теореме о вероятности произведения независимых событий (формула 4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(D).
Вычислим вероятности событий В, C и D.
В этом примере имеется 3 равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х) исходов опыта.
Каждому из событий В, C и D благоприятствует 1 из них, поэтому
Слайд 53Пример 5 б)
Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый
человек.
Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова
тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек? 
Слайд 54Решение
Событие А – ―открыты все двери.
Опять, А=ВСD по определению
произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD).
Но, теперь события В, Cи D
– зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).
Вычислим вероятности:
(ключа осталось только два и один из них подходит!),
Слайд 55Пример 6
Ведутся поиски двух преступников.
Каждый из них независимо
от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью
0,5.После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках, вероятность найти второго возрастает до 0,7.
Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника.
Слайд 56Решение
Пусть событие А – обнаружены два преступника. Разобьем это событие
на более простые.
Пусть В1 – обнаружен первый преступник, а В2
– обнаружен второй преступник, после того, как пойман первый. Тогда, А=В1В2 по определению произведения событий.
Следовательно Р(А)=Р(В1В2).
Так как В1 и В2 – зависимые события, то по теореме о вероятности произведения зависимых событий (формула 4.8) Р(В1В2) = Р(В1)Р(В2/В1) = 0,5 0,7=0,35
Слайд 57Пример 7
Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 10
раз герб выпадет хотя бы 1 раз.
Решение.
Пусть событие
А – герб выпадет хотя бы 1 раз. Рассмотрим обратное событие: А1 – герб не выпадет ни разу. Очевидно, что обратное событие легче чем исходное разбить на более простые.
Пусть А1 – герб не выпал при первом броске, А2 – герб не выпал при втором броске, … А10 – герб не выпал при 10-м броске. Все события А1…А10 независимы, следовательно, (формула 4.11)
Слайд 58Пример 8
В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2
группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек
с АКМ47.Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 – 0,65.
Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.
Слайд 59Решение
Пусть событие А – преступник поражен.
Разобьем это событие на
более простые.
Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо
из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н1) равна 10/30.
Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н2) равна 20/30.
Вероятность того, что преступник поражен равна (формула 4.12)
Слайд 60Комбинаторика
Правило сложения
Если первое действие можно выполнить n различными способами,
а второе — m способами, то выполнить первое ИЛИ второе
действие можно n+m способами.Правило умножения
Если первое действие можно выполнить n различными способами, а второе — m способами, то выполнить первое И второе действие (в таком порядке) можно nxm способами.
Эти правила можно обобщить на случай 3-х, 4-х и более действий.
Слайд 61Пример 9
Рекламный плакат мебельной фабрики утверждает, что возможно составить 100
000 различных вариантов расстановки производимых ей шкафов если купить хотя
бы 5 шкафов.Верно ли это, если выпускается всего 10 различных типов шкафов?
Слайд 62Решение
Вычислим, сколькими способами можно расставить 5 шкафов рядом друг с
другом.
Первую позицию можно заполнить 10-ю различными способами (принцип сложения),
вторую — также 10-ю (никто не мешает купить и второй шкаф той же модели, что и первый), третью — опять 10-ю и т.д.Вообще имеем (принцип умножения) 10·10·10·10·10=100000 различных вариантов расстановки пяти шкафов рядом друг с другом.
Если же купить шкафов больше, чем 5, то, очевидно, вариантов расстановки будет еще больше.
Вывод: реклама является добросовестной.
Слайд 63Пример 10
Из тщательно перемешанной колоды в 52 карты вытягивают 3
карты.
Сколько существует различных вариантов карт на руках у игрока?
Слайд 64Решение
В данном опыте производится 3 действия: вытягивание 1-й карты, 2-й
карты и 3-й карты.
Вычислим, сколькими способами можно вытянуть 1-ую
карту. Так как всего в колоде 52 карты, то имеем 52 различных способа.
(Здесь мы применили принцип сложения: карта может быть двойка пик ИЛИ тройка пик ИЛИ … ИЛИ туз червей.
Значит, всего имеем 1+1+…+1=52 способа.)
Слайд 65Решение
Всего различных вариантов расположения карт на руках у игрока будет
52·51·50= 132600 способов.
Для ответа осталось разделить это число на
3·2·1 – это количество способов перетасовать эти 3 розданные карты. Ответ: 22100.
Слайд 66Число сочетаний, размещений и перестановок
Если стоит задача вычислить сколькими
способами можно расположить - в ряд (т.е. важен порядок их
следования) вытянутые m предметов из коробки содержащей различных n предметов, то имеем так называемую ситуацию перестановок.Вычислим это количество: первую позицию можно заполнить n способами, вторую – n–1 способом, третью – n–2 способом, и т.д.
Искомое количество способов заполнить все n позиций равно (по принципу умножения)
n(n – 1)(n – 2) (n – 3)... (n – m + 1) и обозначается .
Слайд 67Если стоит задача вычислить сколькими способами можно расположить ― в
ряд
(т.е. важен порядок их следования)
вытянутые m предметов из
коробки содержащей различных n предметов, то имеем так называемую ситуацию перестановок. Вычислим это количество: первую позицию можно заполнить n способами, вторую – n–1 способом, третью – n–2 способом, и т.д. Искомое количество способов равно (по принципу умножения) = n(n – 1)(n – 2) (n – 3)... (n – m + 1)
Число сочетаний, размещений и перестановок
Слайд 68Но, поскольку нам не важно какой именно элемент стоит на
каком месте, то необходимо
разделить на количество способов по разному
переставлять уже выбранные элементы. А это количество равно =n(n–1)(n–2)(n–3)...3x2x1=n! (читается n факториал).
Искомое количество способов заполнить все n позиций равно / n! и обозначается .
Число сочетаний, размещений и перестановок
Слайд 69Пример 11
В совбезе ООН 11 членов: 5 постоянных и 6
так называемые малые нации.
Для принятия решении, надо, чтобы было
7 голосов ЗА, причем следующим образом: все постоянные + как минимум 2 временных.
Сколько всего вариантов голосования? Сколько всего можно организовать выигрышных коалиций?
(Выигрышной коалицией называется такая, когда как бы не голосовали противники решение все равно будет принято.)
Слайд 70Решение
Так, как голосуют 11 делегаций и у них есть 2
выбора («за», «против»), то по принципу умножения имеем 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 =
211 = 2048 – вариантов голосования.Так как все постоянные члены должны проголосовать «за», то выигрышная коалиция определяется только временными членами, а кол-во
способов выбрать 2 или 3 или 4 или 5 или 6 временных членов, голосующих «за».
Имеем
способов, причем 15 – число так называемых минимальных выигрышных коалиций.
Слайд 73Вопросы
1) Что называется испытанием (опытом) в теории вероятностей?
2) Что
называется событием? Какие события бывают?
3) Что такое вероятность какого
либо события? Чему она равна? 4) Приведите основные правила вычисления вероятностей сложных событий.
5) Приведите основные правила комбинаторики.
