Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса

Остроградского-Гаусса
4. Вычисление электростатических полей с помощью

теоремы Остроградского - Гаусса
4.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
4.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
4.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
4.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком
4.5. Поле заряженного пустотелого шара
4.6. Поле объемного заряженного шара

плоскости площадью S определяется по формуле:
dq – заряд, сосредоточенный на

площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

относительно плоскости






Тогда

Применим теорему Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть

поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Еn = 0. Для основания цилиндра Еn = Е.

заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим:


откуда видно, что напряженность

поля плоскости S равна:
(4.1)

разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью |σ|

создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей

(4.2)
Вне плоскостей напряженность поля


Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

пластинами конденсатора показано на рисунке:

пластин):

т.е.


Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

где S – площадь обкладок

конденсатора.
Т.к.





(4.3)

Это формула для расчета пондермоторной силы

поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью




где

dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).

т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

на поверхности будет заряд

По теореме Остроградского-Гаусса
Тогда



(4.4)


Если то , т.к.
внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

но разным знаком

В зазоре между цилиндрами поле определяется так же,

как в п. 4.3:

(4.5)

конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров

(цилиндрический конденсатор).

Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

внутрь воображаемой сферы
попадет весь заряд q, распределенный по сфере,

тогда


откуда поле вне сферы:

(4.6)

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

же величины, помещенному в центр сферы.

получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е.

справедлива формула:

сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный



где ρ

– объемная плотность заряда,

объем шара -


Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем

внутри шара имеем


(4.7)