ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Матрицы и

и эффективного описания и анализа экономико-математических моделей и методов.

– матричная алгебра – имеет важное значение для экономистов, так

или где – элемент матрицы, i – ой строки и j – го

столбца,
где
i = 1,2…m
j = 1,2…n

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами.

пишут

Числа

матрица называется квадратной.
Квадратную матрицу размера n × n называют

Если m = n, то матрица называется прямоугольной.

диагонали, равны нулю.





Диагональная матрица, у которой все элементы главной

сторону от главной диагонали, равны нулю.
Матрица, все элементы которой равны

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:
Матрица размера 1 × 1,

тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается

Так, если

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АТ)Т = А.

размеров.
Суммой двух матриц

Сложение

Все свойства сложения соответствуют вычитанию.

Вычитание

на число k называется матрица

Матрица – А= (-1)  А называется противоположной матрице А.

свойствами:
А + В = В + А (коммутативность)
А +

где А, В, С – матрицы,  и  – числа.

параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов ряда матрицы на число,

Две матрицы называются А и В эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А  В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например:

на матрицу

i

k

АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А 

.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:
А  (В  С) = (А  В)  С
А  (В + С) = АВ + АС
(А + В)  С = АС + ВС
(АВ) = (А)В

транспонирования верны свойства:
(А + В)Т = АТ + ВТ
(АВ)Т =

det A (или А, или ), называемое

Определитель матрицы А также называют детерминантом.

Саррюса), которое символически можно записать так:
(основания равнобедренных треугольников параллельны

(основания треугольников параллельны побочной диагонали)

– 6•1•1 – 3•(-2)•(-3) – 0•(-4)•5 = –15+48–6–18 = 48–39=9.

- + + +
=5•1•(-3) + (-2)•(-4)•6 + 3•0•1

=

на противоположный.

за знак определителя.

то определитель равен нулю.

двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в

элементы другой строки (или столбца) , умноженные на одно и

×к

элемента det D называется такой новый определитель, который

Mij этого элемента, взятый со знаком
т.е.

алгебраические дополнения равна этому определителю.

Теорема:

2) 1-го столбца.

столбца;

2. метод эффективного понижения порядка;

3. приведение определителя к треугольному виду.

вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду все

не равен нулю.






В противном случае (detA=0) матрица А называется вырожденной.

А называется матрица, которая будучи умноженной на А (как справа,

обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.

достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (det А≠ 0).

det A ≠ 0;

2. находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы

3. транспонируют новую матрицу ;

4. умножают полученную матрицу на