Функции, их графики. Практическое применение

У=ax2+bx+c У= sin x
У=Х3

У= соs x
У= √х У= tg x
K У= сtg x
У= — Х
У=ах

хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики

функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

/2
0
X
У







X
У= tg x
У= сtg x

x
x
А
B
C
D
g (x)
O
X
У
O( x;0 ) A ( x

;g (x) ) B ( g (x) ;g (x) ) C ( g (x) ;f (g (x)) ) D ( x; f (g (x)) )

Точка D лежит на графике функции У= f (g(x))

2(x)=1
Если f (x)=3 то f 2(x)=9
Если f (x)=0 то f

2(x)=0
Если -1≤f (x)<0, то
0< f 2(x) ≤1
Если f (x)→+∞, то f2(x)→+∞

-1

У=(2х2+4х+1)2

3

9

то f2(x)=1
Если f (x)=2, то f2(x)=4
Если f (x)=-1, то f2(x)=1
Если

-1≤f (x)<0,
то 0< f 2(x) ≤1
При 0 f (x)> f2(x), значит график функции
у = f2(x) будет лежать ниже графика функции у =f (x)

4

точек графика функции √(f (x)) не будет
При f (x)=1 √(f

(x))=0
При f (x)=4 √(f (x))=2
При х→+∞ √(f (x)) →+∞
При 0f (x) < √(f (x)) и значит график функции
у = √ (f (x)) лежит выше графика функции у = f (x)

√ log2x

f (x)

f (x)=1 то √(f (x))= 1
Если f (x)=4 то √(f (x))=2
Если f (x)=9 то √(f (x))=3
При х→+∞ √(f (x)) →+∞
При х→-∞ √(f (x)) →+∞
При 0 f (x) < √(f (x)) и значит график функции
у = √ (f (x)) лежит выше графика функции
у = f (x)

х

У

0

1

1

2

-2

2

4

-4

9

3

f (x)= √ (х2-4)

промежутке, где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x))

не будет.
При f (x)=2 log2 (f (x)) = 1
При f (x)=1 log2 (f (x)) = 0
При x>x0 f (x) возрастает, тогда log2 (f (x)) возрастает.
При х<х1 f (x) убывает, тогда
log2 (f (x)) убывает
При 0При f (x)>1 log2 (f (x))>0

0

У=log2(f(x))

У=f (x)

где f (x)≤0, точек графика функции log2 (f (x)) не

будет
Если f (x)=1 то log2 (f (x))=0
Если f (x)→0 то log2 (f (x))→-∞

-1

1

¶ /2

-¶ /2

0

X

У

f (x)=log2cosX

(оси) L , если:
1)эти точки лежат по одну сторону от

оси L
2)отрезок, их соединяющий перпендикулярен оси L
3)произведение расстояний от этих точек до L равно 1.
Преобразование плоскости , при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой ,называется инверсией.

функции у = f (x) инверсией относительно оси ОХ.
Теорема 2
График

функции g (x)= f(1/x) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОУ.

f (x) =lXl
График функции f (x) =1/(lхl) получается из графика

функции У=lXl инверсией относительно оси ОХ
А(-1;1) и В (1;1) являются неподвижными точками инверсии. Если f (x) =1 то У(х) =1.
Чем дальше точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем ближе точки графика функции У = 1/(lхl)
Чем ближе точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем дальше точки графика функции У = 1/(lхl)

x

у

0

1

-1

1

f (x)

1/(f (x))

А

В

функции
g (x)= √ ((2-1/х)) получается из графика

функции f (x) инверсией относительно оси ОУ
График функции
v (x)= √((2-1/(х+2)) получается из графика функции
g (x) параллельным переносом вдоль оси ОХ на 2 единицы влево.
v (x) – искомый график.

Преобразуем выражение, задающее функцию. У= √((2-1/(х+2))

х

1

2

-1

-2

1

f (x)

g (x)

v (x)

2

0

У

х удовлетворяющие неравенству.

(log2(8-x))3≤3x-4
Построим графики функций f (x)= (log2(8-x))3 и g (x)=3x-4 в одной системе координат.

4

8

х

У

0

1

1

g (x)

f (x)

Из графика видно, что решением данного неравенства является промежуток [4;+∞)

Ответ. [4;+∞)

3√(х-2) ≥ 3-√(х+1)
Построим графики функций f (x)= 3√(х-2) и g

(x) = 3-√(х+1)

3

3

1

-1

1

х

У

0

Из графика видно, что решением данного неравенства являются все х из промежутка [3;+∞)

Ответ. [3;+∞)

f (x)

g (x)

g (x)= 2-x
х
У
0
1
1
2
Из графика видно что единственным корнем уравнения является

х=2.

Ответ.х=2

f (x)

g (x)

log3(13-4x) и g (x)=2
Из графика видно ,что решением неравенства является

промежуток (-∞;а), где 0<а<1, поэтому наибольшим целым решением неравенства является х=0.

Ответ.х=0

f (x)

g (x)

а

(x)=8-lxl
х

У
0
1
1
f (x) =Log2x2
g (x)=8-lxl
4
4
Из графика видно решением данного уравнения является

х=4.

Ответ.4

1

1

графики функций f (x)=

и g (x)= 1-5х+1

f (x)

g (x)

Из графика видно решением данного уравнения является х=-1.

Ответ. -1

корни разных знаков
В)уравнение имеет корень больший 6
Г)уравнение имеет корень из

отрезка [-1;2]

любыми ординатами, кроме принадлежащих промежутку (0;1], то данное уравнение не

имеет решений при всех а из промежутка (0;1] .
Б) Найдём а(0)=4/3, а(6)=16/15, а(-1)=9/8.
Из графика видно, что прямые а =const, параллельные оси ОХ, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков только при а из промежутка (1;4/3).
В)Из графика видно, что уравнение имеет корень, больший 6, при а из промежутка (1; 16/15), Г)Из графика видно , что уравнение имеет корень из [-1;2] при а из промежутка (-∞;0]∪[9/8;+∞).

Рассмотрим функцию а = (х2-4х+4)/(х2-4х+3), т.е а=1+1/(х2-4х+3) и построим её график.

х

-1

-1

-2

1

2

3

4

5

6

7

а

1

2

3

0