Разделы презентаций


Мастер-класс : оригинальные способы решения задач на теорему Пифагора презентация, доклад

Содержание

ДЕВИЗ: ВО ВСЯКОМ ДЕЛЕ ЕСТЬ МЕСТО ДЛЯ ТВОРЧЕСТВА

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1МАСТЕР-КЛАСС УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ МОУ”ШКОЛА №80 ГОРОДА ДОНЕЦКА” АРХИПЦЕВОЙ ВАЛЕНТИНЫ АЛЕКСАНДРОВНЫ
Тема: Различные задачи на

применение
теоремы Пифагора

МАСТЕР-КЛАСС УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ  МОУ”ШКОЛА №80 ГОРОДА ДОНЕЦКА” АРХИПЦЕВОЙ ВАЛЕНТИНЫ АЛЕКСАНДРОВНЫТема: Различные задачи на применениетеоремы Пифагора

Слайд 2ДЕВИЗ: ВО ВСЯКОМ ДЕЛЕ ЕСТЬ МЕСТО ДЛЯ ТВОРЧЕСТВА

ДЕВИЗ: ВО ВСЯКОМ ДЕЛЕ ЕСТЬ МЕСТО ДЛЯ ТВОРЧЕСТВА

Слайд 3НАЗОВИТЕ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА СО СТОРОНАМИ 5,12,13,ПРОТИВОЛЕЖАЩИЙ СТОРОНЕ 13.

НАЗОВИТЕ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА СО СТОРОНАМИ 5,12,13,ПРОТИВОЛЕЖАЩИЙ СТОРОНЕ 13.

Слайд 4ДОКАЖЕМ, ЧТО ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ 0,ВЗЯТОЙ ВНУТРИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА АВСД ВЕРНО

ВО²+ОД²=ОС²+ОА²



ДОКАЖЕМ, ЧТО ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ 0,ВЗЯТОЙ ВНУТРИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА АВСД ВЕРНО ВО²+ОД²=ОС²+ОА²

Слайд 5Напомним сначала, как египтяне использовали треугольник со сторонами 3,4,5 для

построения прямых углов


Напомним сначала, как египтяне использовали треугольник со сторонами 3,4,5 для построения прямых углов

Слайд 6А ТЕПЕРЬ ПРИМЕНИМ ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ ДЛИНУ

ДОСОК ,КОТОРЫЕ НУЖНЫ, ЧТОБЫ ПОКРЫТЬ КРЫШУ ДОМА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ВЫСОТА

КРЫШИ И ШИРИНА ДОМА.
А ТЕПЕРЬ ПРИМЕНИМ ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ ДЛИНУ ДОСОК ,КОТОРЫЕ НУЖНЫ, ЧТОБЫ ПОКРЫТЬ КРЫШУ ДОМА,

Слайд 7РЕШИМ ПРАКТИЧЕСКУЮ ЗАДАЧУ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ЖЕЛОБА, РАСПОЛОЖЕННОГО МЕЖДУ ДВУМЯ ДОМАМИ.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ЗДАНИЯМИ 10М.КОНЦЫ ЖЕЛОБА УСТРОЕНЫ НА ВЫСОТЕ 8М И

4М НАД ЗЕМЛЕЙ.
РЕШИМ ПРАКТИЧЕСКУЮ ЗАДАЧУ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ЖЕЛОБА, РАСПОЛОЖЕННОГО МЕЖДУ ДВУМЯ ДОМАМИ. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ЗДАНИЯМИ 10М.КОНЦЫ ЖЕЛОБА УСТРОЕНЫ

Слайд 8НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ СО СТОРОНАМИ ОСНОВАНИЙ 10 СМ, 20 СМ

И БОКОВЫМИ СТОРОНАМИ 6 СМ И 8 СМ. ПЕРВЫЙ СПОСОБ:

НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ СО СТОРОНАМИ ОСНОВАНИЙ 10 СМ, 20 СМ И БОКОВЫМИ СТОРОНАМИ 6 СМ И 8

Слайд 9ПРОВЕДЕМ ВН┴АD И СК┴АD, ТОГДА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК ВНКС – ПРЯМОУГОЛЬНИК. 2. ПУСТЬ

АН=СМ, ТОГДА КD=(10-Х) СМ. ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ ПИФАГОРА, ВЫРАЗИМ ВЫСОТУ H ИЗ

∆АВН И ∆СКD: СОСТАВЛЯЯ И РЕШАЯ УРАВНЕНИЕ, ПОЛУЧИМ, ЧТО Х = 3,6(СМ), А ВЫСОТА H=4,8(СМ) 3. ТОГДА S=72(СМ²)
ПРОВЕДЕМ ВН┴АD И СК┴АD, ТОГДА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК ВНКС – ПРЯМОУГОЛЬНИК. 2. ПУСТЬ АН=СМ, ТОГДА КD=(10-Х) СМ. ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ

Слайд 10Второй способ:
1. Проведем СН┴АD и СК||АВ, тогда АВСК - параллелограмм,

АК=ВС=10 см и АВ=КС=6 см
2. Рассмотрим КСD: КС=6 см, СD=8

см, КD=10 см. Так как, то по теореме, обратной теореме Пифагора, ∆КСD - прямоугольный.
3. Можно найти высоту по формуле: СН²=KH*HD 4. Площадь трапеции находим, так же как и в первом решении
Второй способ:1. Проведем СН┴АD и СК||АВ, тогда АВСК - параллелограмм, АК=ВС=10 см и АВ=КС=6 см2. Рассмотрим КСD:

Слайд 11Третий способ:
1. Продолжим АВ до пересечения с СD в точке

Е, проведем СК||АВ.
2. Устанавливаем, что КСD– прямоугольный и АВСК- параллелограмм.
3.

AЕD и КСD подобны по первому признаку (D- общий, <КСD=<АЕD по свойству параллельных прямых), коэффициент подобия k=2, так как k=AE:KC
4. Отсюда АЕ=KC•k=12 см, DE= DC•k = 16 см.
5. Так как AЕD и КСD- прямоугольные, то S=
S(см). Площадь AЕD можно было найти через отношение площадей подобных треугольников:
Теперь можно найти площадь трапеции: S=72(СМ²)
Третий способ:1. Продолжим АВ до пересечения с СD в точке Е, проведем СК||АВ.2. Устанавливаем, что КСD– прямоугольный

Слайд 12Четвертый способ:
1. Проведем СК||АВ и соединим точки К и В

отрезком.
2. Нетрудно доказать, что ∆АВК, ∆ВКС, ∆КСD равные и прямоугольные.
3.

S=3•S=3•24=72 (см²)
Четвертый способ:1. Проведем СК||АВ и соединим точки К и В отрезком.2. Нетрудно доказать, что ∆АВК, ∆ВКС, ∆КСD

Слайд 13ИДЁМ К ПОНИМАНИЮ ПЛОЩАДИ
Всегда увлекательно посмотреть на привычное под новым

углом. К примеру, до написания этой статьи я никогда не

задумывался о глубинном понятии такого явления, как «площадь фигуры». Да, мы можем помнить формулы, но вот понимаем ли мы саму природу площади?
Удивительно, но площадь любой фигуры может быть вычислена путём возведения в квадрат любого линейного сегмента. Линейный сегмент — это отрезок прямой, который мы выбираем в геометрической фигуре. Например, в качестве линейного сегмента квадрата мы выбрали сторону. Тогда площадью квадрата является квадрат его стороны (сторона = 5, площадь = 25). В качестве линейного сегмента круга можно взять радиус, и тогда площадью круга будет являться число π, умноженное на квадрат его радиуса (радиус = 5, площадь = 25π).
ИДЁМ К ПОНИМАНИЮ ПЛОЩАДИВсегда увлекательно посмотреть на привычное под новым углом. К примеру, до написания этой статьи

Слайд 14Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью

вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в квадрат, даст нам

величину площади фигуры, если его помножить на определённый коэффициент. Так мы получаем универсальную формулу расчёта площади фигуры:
 
Площадь фигуры = Коэффициент * (линейный сегмент)²
Мы можем взять любой линейный сегмент и с его помощью вычислить площадь: каждый линейный сегмент, возведённый в

Слайд 15Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет

вычисляться как d, поделённая на √2. В этом случае площадь

квадрата будет вычисляться как 1/2 d². Если мы хотим использовать диагональ фигуры в качестве линейного сегмента, нашим коэффициентом будет являться число 1/2.

Посмотрите на диагональ d квадрата. Сторона квадрата при этом будет вычисляться как d, поделённая на √2. В

Слайд 16А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона

квадрата — это p/4, значит, его площадь вычисляется по формуле

p²/16. В этом случае коэффициентом для p² будет являться 1/16.

А теперь в качестве линейного сегмента используем периметр p. Сторона квадрата — это p/4, значит, его площадь

Слайд 17  А МОЖНО ВЗЯТЬ ВООБЩЕ ЛЮБОЙ ЛИНЕЙНЫЙ СЕГМЕНТ?
А как же! Между

«традиционным» сегментом (ну, например, стороной квадрата) и любым другим по

вашему вкусу (скажем, периметром) всегда существует взаимосвязь (несложно догадаться, что периметр будет равен четырём сторонам квадрата). Если мы можем конвертировать новый сегмент в традиционный, площадь вычисляется легко — изменится лишь коэффициент в уравнении.

  А МОЖНО ВЗЯТЬ ВООБЩЕ ЛЮБОЙ ЛИНЕЙНЫЙ СЕГМЕНТ? А как же! Между «традиционным» сегментом (ну, например, стороной

Слайд 18  А МОЖНО ВЗЯТЬ ВООБЩЕ ЛЮБУЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ФИГУРУ?
Все квадраты похожи друг

на друга (площадь квадрата — всегда квадрат одной его стороны).

Все круги похожи друг на друга (площадь круга — всегда π*r²). Треугольники не похожи друг на друга: они бывают вытянутыми или плоскими, «толстенькими» и «тоненькими», и у каждого треугольника — свой коэффициент для вычисления площади в зависимости от того, какой линейный сегмент вы выбрали. Измените форму треугольника, изменится и уравнение.
 
  А МОЖНО ВЗЯТЬ ВООБЩЕ ЛЮБУЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ФИГУРУ? Все квадраты похожи друг на друга (площадь квадрата —

Слайд 19В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания

* высоту». Но отношения между основанием и высотой зависят от

вида треугольника, поэтому и коэффициент в универсальной формуле будет всегда разным.
 
Почему для сохранения универсальности уравнения необходимы подобные фигуры? Интуитивно понятно, что при масштабировании фигуры вы меняете её размер, но сохраняете пропорции. Периметр квадрата всегда будет вычисляться умножением размера его стороны на 4.

В целом все треугольники подчиняются правилу «площадь = 1/2 основания * высоту». Но отношения между основанием и

Слайд 20 
Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами

фигуры, формула будет работать для всех фигур с одинаковыми пропорциями

(подобными фигурами). Это как сказать, что полный размах рук человека приблизительно соответствует его росту — вне зависимости от того, кто перед нами, ребёнок или баскетболист.
 Поскольку коэффициент в формуле площади основывается на отношениях между элементами фигуры, формула будет работать для всех фигур

Слайд 21Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена

в следующих трёх постулатах:
 
Площадь фигуры вычисляется с помощью возведения в

квадрат любого её линейного сегмента.
У каждого линейного сегмента будет свой коэффициент в универсальной формуле.
Одна и та же формула расчёта площади работает для всех подобных фигур.

Так вот, основная концепция расчёта площади фигуры может быть выражена в следующих трёх постулатах: Площадь фигуры вычисляется с

Слайд 22ИНТУИТИВНОЕ ПОНИМАНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Никто не спорит с тем, что теорема

Пифагора работает. Но почти все её доказательства основаны на механических

действиях: переставляем местами фигуры, и вот! — уравнение всё равно работает. Давайте подумаем: вам правда интуитивно понятно, что уравнение должно выглядеть как a² + b² = c²? А почему не 2a² + b² = c²? Давайте попробуем найти в этом смысл.
 
ИНТУИТИВНОЕ ПОНИМАНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА Никто не спорит с тем, что теорема Пифагора работает. Но почти все её

Слайд 23Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой

прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных прямоугольных треугольника.

Для начала нам понадобится осознать и принять удивительный факт: любой прямоугольный треугольник можно разбить на два подобных

Слайд 24 Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в

две свои маленькие копии.
 
Собственно, этот пример говорит нам об очень

простой вещи:
 
Площадь (чего-то большого) = Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
 
Маленькие треугольники были получены из большого, поэтому мы просто складываем их площади. И да, самое главное: поскольку треугольники подобны, для них действует одна и та же формула вычисления площади.
 
Давайте назовём длинную сторону (с длиной 5) — с, среднюю сторону (с длиной 4) — b, и короткую сторону (с длиной 3) — a. Формула площади для этих треугольников выглядит так:
 

Всего один опущенный перпендикуляр, и один треугольник превращается в две свои маленькие копии. Собственно, этот пример говорит

Слайд 25Площадь = F*гипотенуза²,
 
где F — это множитель (в этом случае

— 6/25 или 0,24). С формулой можно поиграть:
 
Площадь (чего-то большого)

= Площадь (кое-чего среднего) + Площадь (кое-чего поменьше)
 
Fc² = Fb² + Fa²
 
Просто уберите F, и вы получите:
 
c² = b² + a²

Площадь = F*гипотенуза², где F — это множитель (в этом случае — 6/25 или 0,24). С формулой можно

Слайд 26Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что

она нас не подведёт, но теперь мы понимаем, почему:
 
Треугольник можно

разбить на два маленьких подобных треугольника
Поскольку площади малых треугольников складываются, квадраты гипотенуз также складываются.
Конечно, теорема Пифагора работает только в Евклидовой геометрии и не может применяться, например, к сферам. Но об этом нужно поговорить в другой раз.
Ой, так это же наша любимая теорема! Мы знали, что она нас не подведёт, но теперь мы

Слайд 27ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ: ВОЗЬМЁМ ЛЮБУЮ ФИГУРУ
Ранее мы использовали простую плоскую фигуру

— треугольник. Но ведь линейный сегмент можно извлекать из абсолютно

любой фигуры. Возьмём, к примеру, круг. На изображении мы видим три разных круга с радиусами, равными сторонам нашего Пифагоровского треугольника.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ: ВОЗЬМЁМ ЛЮБУЮ ФИГУРУ Ранее мы использовали простую плоскую фигуру — треугольник. Но ведь линейный сегмент

Слайд 28Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы

поступили с большим треугольником — сложить площади меньших кругов? При

этом мы будем помнить, что площадь каждого маленького круга мы можем высчитать, используя квадрат известного нам линейного сегмента, умноженный на конкретный коэффициент — в данном случае это будет число Пи.

Да-да, всё верно: Площадь круга радиусом 5 = Площадь круга радиусом 4 + Площадь круга радиусом 3.

Можно ли с большим кругом поступить так же, как мы поступили с большим треугольником — сложить площади

Слайд 29 
Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё

ещё работает.
 
Помните, что в качестве линейного сегмента может выступать любой

элемент плоской фигуры. Вы могли выбрать радиус, диаметр или длину окружности — изменился бы только коэффициент, но отношения 3-4-5 остались бы неизменными.
 
Теорема Пифагора позволяет находить соотношение площадей любых подобных фигур. Это то, чему нас не учат в школе
 Мы запросто подставляем в формулу нужный коэффициент, и она всё ещё работает. Помните, что в качестве линейного сегмента

Слайд 30ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ: СОХРАНЕНИЕ КВАДРАТОВ
Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению.

Подобно тому, как вы разбиваете треугольники, вы можете разбить квадрат

любого количества чего угодно (c²) на более малые его доли (a²+b²). Этим «чем угодно» может быть расстояние, энергия, человеко-часы, время или количество пользователей в социальной сети.
 
Социальные сети.
 
Есть такой закон — закон Меткалфа, формулирующий уровень полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней. Например:
 
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ: СОХРАНЕНИЕ КВАДРАТОВ Теорема Пифагора применяется к любому квадратному уравнению. Подобно тому, как вы разбиваете треугольники,

Слайд 31Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн.

пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей
 
Кажется удивительным, что полезность

социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух социальных-сетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно.


Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей Кажется

Слайд 32Информационные технологии.
 
Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов.

Другими словами:
 
50 запросов = 40 запросов + 30 запросов

Информационные технологии. Некоторым программам требуется n² времени для обработки n запросов. Другими словами: 50 запросов = 40 запросов +

Слайд 33Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут

обработаны так же быстро, как одна группа из 50 элементов.

Именно поэтому имеет смысл сортировать элементы по группам и подгруппам. Эта особенность используется почти во всех алгоритмах сортировки. Теорема Пифагора помогает понять, почему сортировка 50 элементов сразу менее эффективна, чем сортировка этого же количества элементов по отдельности
Удивительно, но 70 элементов данных, разбитые на две группы, будут обработаны так же быстро, как одна группа

Слайд 34Площадь поверхности.
 
Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит?
 
Площадь

радиусом 50 = Площадь радиусом 40 + Площадь радиусом 30
 
В

жизни нам встречается не так уж и много сфер, но вот портовым работникам это знание весьма полезно (в конце концов, корпус любого судна — это деформированная сфера). Количеством краски, необходимой для 50-тифутовой яхты, можно окрасить две яхты длиной 40 и 30 футов.

Площадь поверхности. Площадь поверхности сферы определяется как 4πr². Что это значит? Площадь радиусом 50 = Площадь радиусом 40 +

Слайд 35Физика.
 
Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу

расчёта кинетической энергии объекта массой m при скорости v: 1/2mv².

Применяем теорему Пифагора.
 
Энергия при скорости в 500 км/ч = Энергия при скорости в 400 км/ч + Энергия при скорости в 300 км/ч
 
Значит, одного и того же количества энергии хватает либо на запуск одного предмета на скорости 500 км/ч, либо на запуск двух других на меньшей скорости.

Физика. Если вспомнить школьные уроки физики, можно привести в пример формулу расчёта кинетической энергии объекта массой m при

Слайд 36СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика