Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами в курсе математики основной школы

основной школы

Это связано с тем, что решение таких задач требует не

только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

наиболее сложных и интересных разделов математики, который развивает мыслительную деятельность

учащихся, формирует представление о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом другом материале, повышает логическую культуру и технику исследований.
Позволяет приблизить знания учащихся к требованиям контрольных измерительных материалов части с единого государственного экзамена.

число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике. В

5 классе при повторении свойств чисел можно рассмотреть примеры.

7 = 7 + 5;
б) 3 ⋅ а = 8

⋅ 3?
2)При каких натуральных значениях b деление 18 : b выполнено без остатка?
3) При каких натуральных значениях b при делении 16 : b в остатке получится 1?
4)При каких натуральных значениях с верно неравенство
12с • 100?
5) При каких натуральных значениях p верно неравенство
12 • 5р • 50?
Задания, подобные примерам 1, 2, 4 можно предлагать учащимся в устной работе, а примеры 3, 5 для индивидуальной работы на уроке или при составлении контрольной работы в качестве задания развивающего плана.

уравнения", вызывает интерес и способствует запоминанию определения корня уравнения следующее

задание: Укажите значение а, при котором число 5 является корнем уравнения ах = 20. Решение. Если число 5 – корень уравнения ах = 20, то равенство будет верным а ⋅ 5 = 20 а = 20 : 5 а = 4 Ответ: при а = 4 число 5 – корень уравнения ах = 20.

класса в устной и самостоятельной работе можно использовать примеры, способствующие

запоминанию понятий "правильная" и "неправильная" дроби, умению сокращать дроби.
1) При каких натуральных значениях b дробь является правильной?

2) При каких натуральных значениях m дробь является неправильной?

3) При каких натуральных значениях а правильная дробь сократима?

4) При каких натуральных значениях с неправильная дробь сократима?

математики в 6 классе можно рассматривать примеры решения уравнений вида

0х = 5; 0х = 0, предлагать задания развивающего характера в устной работе, а затем и в индивидуальной дифференцированной работе уравнения: 1) 0х = а; 2) bх = 0. 1) При каких значениях а уравнение 0х = а не имеет решений? При каких значениях а уравнение имеет бесконечное множество решений? 2) При каких значениях b уравнение bх = 0 имеет бесконечное множество решений? При каких значениях b уравнение bх = 0 не имеет решений? На внеклассных занятиях по математике в 6 классе рассматривается решение уравнений с параметрами вида: 1) ах = 6 2) (а – 1)х = 8,3 3) bх = -5

и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении

темы: "Решение линейных уравнений". В устной работе повторяется решение уравнений вида: 0х = 5; 6х = 0; 0х = 0; ах = 0; 0х = b; сх = 7.
Затем в ходе урока можно рассмотреть уравнения, развивающие представление учащихся о решении уравнений с параметрами.
Пример. При каком значении а число 4 является корнем уравнения (а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3х – 1?
Решение:
Если 4 – корень уравнения, то при х = 4 получим верное равенство
(а – 5) ⋅ 4 – 2а = 3 ⋅ 4 – 1,
4а – 20 – 2а = 12 – 1,
2а = 20 + 11,
2а = 31,
а = 15,5
Ответ: при а = 15,5 число 4 – корень уравнения.

ходе изучения этой темы на факультативе, ребята с интересом решают

уравнения вида: При каких значениях а уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 имеет бесконечное множество решений? Решение: 6(ах + 1) + а = 3(а –х) + 7 6ах + 6 + а = 3а – 3х + 7 (6а + 3)х = 2а + 1 Найдем контрольное значение а. 6а + 3 = 0 а = -1/2. При а = -1/2 получим уравнение 0х = 0. Уравнение имеет бесконечное множество решений. При а ≠ -1/2 х = , х = , х = 1/3 – уравнение имеет одно решение. Ответ: при а = уравнение имеет бесконечное множество решений.

с учащимися по выработке их умений проводить анализ решения более

сложных линейных уравнений с параметрами на факультативных занятиях.
Пример. Решите уравнение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
Решение:
2х – 3(а – х) = ах – 15
2х – 3а + 3х = ах – 15
5х – ах = 3а – 15
(5 – а)х = 3(а – 5)
Найдем контрольное значение а:
5 – а = 0
а = 5
При а = 5 получим уравнение 0х = 0, которое имеет бесконечное множество решений.
При а ≠ 5 х = (делим на число 5 – а ≠ 0)
х =
х = -3 – уравнение имеет одно решение.
Ответ: при а = 5 – бесконечное множество решений, при а ≠ 5 – одно решение х = -3.

решению квадратных уравнений с параметрами можно начинать в 8 классе

с устного счета, применяя знания учащихся, полученные при изучении темы "Решение квадратных уравнений".
Учащиеся знакомятся с понятием "дискриминант", учатся находить количество корней квадратного
уравнения в зависимости от его значения.

2m = 0 не имеет действительных корней?
Решение: х2 – 3х

– 2m = 0. Так как квадратное уравнение не имеет действительных корней, то его дискриминант принимает отрицательные значения:
D = 9 + 8m
9 + 8m < 0
m <
Ответ: при m < уравнение не имеет действительных корней
2) При каких значениях а уравнение х2 + 5х + 10а = 0 имеет два действительных корня?
3) При каких значениях b уравнение x2 + bx + 4 = 0 имеет один действительный корень?

При каких значениях m квадратное уравнение mx2 + 6x -

3 = 0 имеет два действительных корня? Решение: mx2 + 6x - 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0. Так как квадратное уравнение имеет два действительных корня, то его дискриминант принимает положительные значения. D = 36 + 12m 36 + 12m > 0 12m > -36 m > -3 Ответ: при m > -3, m ≠ 0 квадратное уравнение mx2 + 6x - 3 = 0 имеет два действительных корня. При решении этих примеров отрабатывается не только понятие "дискриминант", но и определение квадратного уравнения.

переменной" рассматривается решение более сложных примеров.

+ m + 3 = 0 имеет более одного корня? Решение:

mx2 – 4x + m + 3 = 0. Так как уравнение является квадратным, то его первый коэффициент m ≠ 0. При m ≠ 0 получится квадратное уравнение, которое имеет более одного корня, если его дискриминант имеет положительное значение. D=16-4m2-12m. Решим неравенство m2 + 3m – 4 < 0 методом интервалов. Найдем корни многочлена m2 + 3m – 4. m2 + 3m – 4 = 0 m1 = -4; m2 = 1 Разложим многочлен m2 + 3m – 4 на множители: (m + 4)(m – 1) < 0. Найдем знаки многочлена (m + 4)(m – 1) на интервалах: Ответ: уравнение имеет более одного корня при –4 < m < 1, m ≠ 0.

При каких значениях k корни уравнения х2 + (k2 –

4k – 5)x + k = 0 равны по модулю?
Решение: х2 + (k2 – 4k – 5)x + k = 0. Воспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулю



k2 – 4k – 5 = 0
k1= -1; k2 = 5 -1 < 0; 5 > 0 ⇒ k = 5 – посторонний корень.
При k = -1 получим уравнение
х2 – 1 = 0
х2 = 1
Х1, 2 = ±1
⎜-1⎜ = ⎜1⎜
Ответ: при k = -1 корни уравнения равны по модулю.

24 = 0, если известно, что его корни положительны, и

их разность равна 2. 3) При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 отрицательны? 4) При каких значениях параметра а корни уравнения х2 + ах + 2а = 0 действительны и оба больше (-1). 5) При каких значениях параметра а сумма корней уравнения 4х2– 4(а – 1)х + 1 = 0 отрицательна? При решении этих примеров используются необходимое и достаточное условие существования двух различных корней, больших данного числа, и теорема Виета.

свойств функций, изучаемых в курсе математики основной школы, умение логически

мыслить, осуществляя анализ и синтез любой задачи школьных образовательных программ и жизненных ситуаций. Эти ребята имеют грамотную математическую речь, показывают прочные знания по математике и другим предметам. Они владеют общеучебными умениями и навыками, что позволяет им самостоятельно приобретать знания, развивать свои творческие способности.