Ряды Фурье

называется ортогональной на отрезке [-π,π] и

на всяком отрезке длины 2π тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .

в силу

нечетности подынтегральной функции.

,

коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е.


называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.

[a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на

интервалы, в каждом из которых функция монотонна.
Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx .

2π функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-π,π] или

имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = c – точка разрыва, то
.

функция, то функции

являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :
, если f(x) – нечетна, и

, если f(x) – четна

,
где

для четной функции.

и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье

имеет вид:
,

где коэффициенты

функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее

нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда
функция имеет период 2 π. В самом деле:

π

, а затем вернемся к старой переменной. Имеем

, где

,


,

Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции

с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где

ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно

записать в следующем виде:

, где

является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся

периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную.
Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.

у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по

косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.

, где

Вычислим интеграл по частям:

, а

, где или

де

ли

образом. Тогда

.

нулю и, значит,

, а при – нечетном, т.е. при ,

. Тогда
Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0,π).