Тригонометрические формулы

косинуса и тангенса произвольного угла;
знаки синуса, косинуса и тангенса;
зависимость между

синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
cинус, косинус и тангенс углов  и - ;

где 0

равным 1.

некоторая точка окружности.
Кроме градусной меры угла существует еще и радианная.
Рассмотрим

окр(О(0,0);R) дугу PM1, равную радиусу R.
Центральный угол,опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

мере.
45
90
0


числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности.
Рассмотрим

на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью.
Введем понятие поворота окружности вокруг начала координат на угол в a радиан, - любое действительное число.

3. Поворот на 0 радиан, означает, что точка остается на месте.

0

ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на

угол α.

Обозначается sin α

Косинусом угла  называется абсцисса точки, полученной
поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α.

Обозначается cos α

При повороте т.P(1,0) на угол α, т.е на угол 90 , получается точка (0,1).
Ордината точки равна 1, поэтому sin 90=sin =1.
Абсцисса точки равна 0, cos90 =cos =0

cos1,5 =

угла  к его косинусу.

tg =

Котангенсом

угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.
ctg =

Найдите
tg 0°=
ctg 270° =
tg 0°-tq180°=

тангенс углов  и –.
Пусть т Р(1,0) движется по единичной

окружности против часовой стрелки.
, sin >0, cos >0.

, sin >0, cos <0.

,sin >0, cos <0.

, sin <0, cos >0.

x

x

x

y

y

y

+ +

- +

- +

- +

+ -

- -

sin 

cos 

tg 

т M1 и тM2 единичной окружности получены поворотом т P

(1,0) на углы  и –.
Тогда ось Ох делит угол М1OM2пополам, поэтому тM1 и M2 симметричны
относительно оси Ох
М1 (cos , sin ), M2 (cos (- ), sin()).
Значит (1) sin(-)=-sin 
(2) cos(-)=cos 
Используя определения тангенса и котангенса
(3) tg (-)=tg 
(4) ctg (-)= -ctg 
Формулы 1-2 справедливы при любых .
Формула 3, при

и тангенса углов:а) , б) 745°, в)-

того же угла.
Пусть т М (x;y) единичной окружности получена поворотом

точки(1;0) на угол . Тогда по определению синуса и косинуса x=cos , y= sin . Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:х2+у2=1, следовательно
sin2  +cos2 =1. (1)
Равенство (1) выполняется при любых значениях  и называется основным тригонометрическим тождеством.
Зависимость между тангенсом и котангенсом определяется равенством: (2) tg  · ctg =1,

0



х

у

у

(сos sin )

M

Найти: sin 
Дано:

tg  = 13


Найти: ctg 

Решение:
tg  ·ctg=1, следовательно

ctg =

ЗАДАЧА

называется углом в один радиан?
Что называют синусом, косинусом, тангенсом произвольного

угла ?
Каким равенством определяется зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла? Как называется это равенство?
Каким равенством определяется зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла?

2 вариант
40º

1500
ответ: ответ:

2. Найдите градусную меру угла



ответ: ответ:
3.найдите координаты точки, полученной поворотом т(1,0) единичной окружности на угол




ответ: ответ:

Математический диктант.

(0;1), (-1;0),(-1;0), (1,0)

(-1;0), (0;-1), (0;-1),(0;-1)

30° 135°

1) cos1800+5sin900=
=1+3·1=1 =-1+5·1=5
2) sin 2700-2cos 1800= 2) sin1800-3cos00=
=-1+2=1 =0-3=-3
3) 1+ctg2700-5tg3600= 3) sin600+cos300=


=1+0+0=1
4) sin300+cos600= 4)tg3600-2ctg2700+3=


=0- 0+3=3