Построение сечений многогранников

Янаева Ольга Николаевна,
учитель математики МБУ гимназии №35 г.о. Тольятти

проецирования;
Уметь решать задачи на построение сечений;
Уметь применять алгоритм при решении

задач на построение сечений;

С
1



А
А
1
в
в
1
D
D

1

С

С

1

А

А

1

в

в

1

D

D

1

С

С

1

Проверка домашнего задания

Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?

1.

2.

3.

к

N

M

M

С
1



А
А
1
в
в
1
D
D

1

С

С

1

А

А

1

в

в

1

D

D

1

С

С

1

к

N

M

M

1.

2.

3.

ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ

За верное решение каждой задачи поставьте 1 балл

С
1
4.
N
M
А
А
1
в
в
1

D

D

1

С

С

1

N

M

к

А

А

1

в

в

1

D

D

1

С

С

1

N

M

к

5.

6.

Как построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки?

С
1
4.
N
M




А
А
1
в
в
1

D

D

1

С

С

1

N

M

к

5.

E

Q

А

А

1

в

в

1

D

D

1

С

С

1

N

M

к

P

Q

E

F

6.

s

s

s

T

ПРОВЕДИТЕ ВЗАИМОПРОВЕРКУ

За верное решение задач №4 и №5 по 2 балла;
За верное решение задачи №6 – 3 балла.

баллов;
Отметка «3» - 6-7 баллов;
Отметка «2» - менее

6 баллов.

Итоги выполнения домашнего задания

которой есть точки данного многогранника.
Сечением многогранника называется фигура, состоящая из

всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости.

Основные понятия

Рис.1

Рис.2

есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон

этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например (см.рис.3), в пятиугольной призме (всего 7 граней) в сечении могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

Рис.3

названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани

многогранника и секущей плоскости).
Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости (подумайте, почему именно двух!?).
Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости.

ПРИМЕЧАНИЕ. Не забудьте, что прямая и плоскость являются бесконечными в пространстве фигурами!


Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K.

Метод «следов»

прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости.
A1


ПРИМЕР

1.

грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной

грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е.

ПРИМЕР 1.

Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F∈D1C1, EK.

F
ПРИМЕР

1.

с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых

– точку G.

G

ПРИМЕР 1.

(в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит,

прямая GM – очередной «след»!
Причем, GM∩АА1=Н.

H

ПРИМЕР 1.

и в одной грани куба.
Полученный пятиугольник MNFKH – искомое

сечение куба.

B1

ПРИМЕР 1.

одной прямой;
2) прямой и точкой, не лежащей на ней;
3)

двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной

грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».
ПРИМЕЧАНИЕ. Если такой пары точек не найдется, то сечение строится методом параллельных проекций.

то эти отрезки параллельны.

Ответ обоснуйте.

Ответ обоснуйте.