Сферическая тригонометрия

Реферат

на тему: «Сферическая тригонометрия»

МОУ СОШ №5

Выполнил ученик 11 «В» класса
Грак Д.В.
Проверил учитель математики
Якушева Е.Б



Торжок
2008г.

II.Основная часть
1. Сферика и сферическая тригонометрия в древности
2. Геометрия Лобачевского
2.1. Лобачевский Н.И.
2.2. 5 постулат сферической тригонометрии
3. Начальные понятия сферической геометрии
4.Соответствие между сферической геометрией и планиметрией
5. Сферическая тригонометрия
6. Площади сферических многоугольников и формула Эйлера
7. Применения сферической геометрии в навигации
8. Картографические проекции
III. Заключение
IV. Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ


«Напрасное

старание со времен Евклида в продолжении
двух тысяч лет заставило меня подозревать,
что в самих понятиях еще не заключается той истины,
которую хотели доказать и которую проверить,
подобно другим физическим законам, могут лишь опыты,
каковы, например, Астрономические наблюдения.
В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и
почитая затруднительный вопрос решенным вполне,
писал об этом я рассуждение в 1826 году».

(Лобачевский Н.И.)

протяжении большого отрезка времени.
2.Описать биографию Лобачевского и привести его заслуги

в
науке.
3.Сравнение «сферической геометрии» с планиметрией.
4.Показать значимость этой науки в практической сфере.

275 и 270 до н. э.), древнегреческий математик. Работал в

Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.

науки сыграла «Сферика» Менелая, работавшего в Александрии в I в.

н. э. и обобщившего все результаты, которые были получены в этой области до него. В его сочинении не только изложена геометрия на сфере, но впервые введен сферический треугольник, последовательно доказаны теоремы, служившие базой сферической тригонометрии, и создана теоретическая основа для тригонометрических вычислений [5, 15].

Сведения о жизни Менелая крайне скудны. Известно, что в 98 г. он производил
астрономические наблюдения в Риме. «Сферика», его основное произведение, в греческом
оригинале не сохранилась и известна лишь по средневековым арабским переводам.
Теорема Менелая для плоского случая формулируется следующим образом: пусть даны
взаимно пересекающиеся прямые AB, AC, BE и CD, образующие фигуру ACGB (рис.);
тогда имеют место соотношения:
 СЕ / АЕ = СG / DG *  DB / AB,   CA / AE = CD / DG *  GB / BE
        

Для сферического случая в теореме фигурируют,   как   было принято в греческой тригонометрии,
хорды удвоенных дуг. Если дана фигура ACGB (рис.), образованная дугами больших кругов на
поверхности сферы, то справедливы соотношения:
 
хорда(2СЕ) / хорда(2АЕ) =  хорда(2CG) / хорда(2DG) *  хорда(2DB) / хорда(2АВ)
хорда(2АС) / хорда(2АЕ) =  хорда(2CD) / хорда(2DG) * хорда(2GB) / хорда(2ВЕ)

(геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное

1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.

центром в точке О называется множество точек пространства, удаленных от

точки О на расстояние R.

Рис.1 Рис.2

ГЕОМЕТРИЕЙ И ПЛАНИМЕТРИЕЙ
В планиметрии понятие прямой

не определяется — это первичное понятие геометрии плоскости. Требуется, однако, чтобы для прямых на плоскости выполня­лись некоторые аксиомы. Выясним, какие из этих аксиом будут справедливы в сферической геомет­рии—для сферических прямых.
Конечно, аксиома, гласящая, что каждая прямая есть мно­жество точек, в сферической геометрии выполняется — большие окружности суть множества точек. Однако уже со следующей аксиомой: для любых двух точек А и В существует единствен­ная содержащая эти точки прямая — дело обстоит сложнее. Ес­ли точки А и В сферы не являются диаметрально противопо­ложными, то это предложение верно (объясните почему), но для диаметрально противоположных точек А и В существует бесконечно много сферических прямых, содержащих эти точки: пересечение сферы с
любой плоскостью, содержащей диаметр АВ, даст такую прямую. Можно сказать, что эта аксиома «поч­ти» выполняется на сфере. Оговорка «почти» приводит к замеча­тельным следствиям.

различные прямые на сфере (т. е. противоположных точках сферы.
Доказательство. Если

α и β — плоскости двух различных больших окружностей на сфере (О, R), то 0ϵα и Oϵβ, поэтому α и β пересекаются по некоторой прямой l, проходящей через центр сферы. Прямая l пересекается со сферой в двух диаметрально противоположных точках, которые и будут об­щими точками рассматриваемых больших окружностей.

связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называются теоремами

косинусов и синусов:

c2=a2+b2-2ab cos^C,
a/sin^A = b/sin^B = c/sin^C.

Теорема косинусов сферической тригонометрии

cosγ = cosαcosβ+sinαsinβcos^C.

Р — число его ребер, Г — число граней, то

эти числа всегда связаны соотношением
В—Р + Г = 2

судне) — одна из наиболее древних наук. Простейшие задачи навигации,

такие, например, как определение кратчай­шего маршрута, выбор направления движения, встали перед са­мыми первыми мореплавателями. В настоящее время эти же и другие задачи приходится решать не только морякам, но и летчикам, и космонавтам.

корабли движутся иными маршрутами. Дело в том, что ортодромия, отличная

от дуги меридиан;! или экватора, пересекает различные меридианы под различными углами, и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непре­рывно менять курс. Это, конечно, практически неосуществимо. Намного проще плавать по постоянному курсу. Кривые, которые пересекают все ме­ридианы под постоянным углом, называют локсо­дромиями (в переводе «косой бег»). На рисунке 15 показана локсодро­мия, пересекающая все меридианы под углом 70°. Конечно, при движении по локсодромиям путь удлиняется. Но если пунк­ты А и В находятся сравнительно близко друг от друга, то удлинение пути по сравнению с движени­ем по ортодромии А В довольно незначительно.

этот шар пример­но в 10 млн. раз и изображая очертания

материков и океанов, озер и рек и т. д., получим глобус. Но пользоваться глобусом далеко не всегда удобно. Основная задача картографии состоит в возможно более точном изображении поверхности глобуса на плоскости. При этом возникает целый ряд трудностей, которые вынуждают искать самые разные способы изображения карт.
Основную причину этих трудностей можно увидеть на на­глядном примере. Как бы мы ни пытались наложить сколь угодно малый кусочек резинового мяча или шарика для игры в пинг-понг на поверхность стола, это никак не удается сделать без разрывов, растяжений или налегания отдельных частей друг на друга. На языке математики это означает:
Если подмножество ω сферы содержит сфери­ческий сегмент, то ω нельзя отобразить на плоскую фигуру с сохранением расстояний.

стереографического проектирова­ния. Покажем, например, как изготовить такую карту приэкваториальных областей

Земли.

Этот способ основан на том, что цилиндрические поверхно­сти можно развернуть на плоскость. Рассмотрим цилиндр с осью l, касающийся глобуса. Срезав полярные области, можно оставшуюся часть сферы спроектировать из ее центра на по­верхность цилиндра. Разрежем цилиндрическую поверхность по образующей и развернем ее на плоскость (рис.22). Очевидно, что в результате сетка параллелей и меридианов отображается на прямоугольную сетку. Правда, углы при этом не сохраняют­ся, но можно получить и конформное отображение участка сфе­ры на плоскость — меркаторскую проекцию. Этот вид картографических проекций называют также цилиндрической равно­угольной проекцией.

Сферика и сферическая тригонометрия в древности и
на  средневековом

востоке; 1979 г.
Рудников В.А Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия; 2006г.
Шварцбург С.И. Избранные вопросы математики; 1980 г.