Свойство скрещивающихся рёбер правильной треугольной пирамиды

Е. А.

DO пирамиды
проведена плоскость α.
М
Докажите, что ребро АB
перпендикулярно к плоскости α

α

Доказательство.

●

1) ∆АBС - __________________, тогда

2) О – центр вписанной в ∆АBС окружности

3) СМ - __________ и высота ∆АBС , значит,

4) АВ лежит в плоскости АBС, DO ___ АВС, тогда

СМ ____ АB

DO ____ АB

5) Оказалось, что АВ перпендикуляр к СМ и к DO, значит,

АВ - перпендикуляр к плоскости DСM, причём

5) ∆ DСM – сечение пирамиды плоскостью α, тогда ребро АB

плоскость DСM совпадает с плоскостью α

перпендикулярно к плоскости DСM, значит, и к плоскости α

Докажем, что перпендикулярны ребра АВ и CD
2) через боковое ребро

О

М

●

3) ∆ DСM – сечение пирамиды плоскостью α, тогда ребро АB
перпендикулярно к плоскости DСM (по задаче №260),

значит, и к ребру CD, лежащему в этой плоскости, т. е.

перпендикулярны ребра АВ и CD.

Аналогично докажем, что перпендикулярны ребра АС и DВ;
ВС и AD

5) Так же можно провести доказательство перпендикулярности
пары рёбер ВС и AD

ЕГЭ - 2011

равно
а высота равна
Найдите расстояние от середины ребра DB
до

рёбер АС и АВ соответственно.

К

Решение с рекомендациями

1). М и Т - середины рёбер АС и АВ,

тогда МТ – _______ ___________ ∆АВС.

2). Проведём KN║ МТ

3). KNМТ - _________________, точнее – прямоугольник, так как

4). Скрещивающиеся рёбра правильной треугольной
пирамиды _________ ______________(см. решение №261, геометрия 10 - 11)

5). AD ____ ВС, тогда MN ____ KN или КТ ____ МТ,
т. е. КТ – искомое расстояние

●

КТ – ________ _____________ ∆АВD,

КТ = _____ AD.

- __________ и высота ∆АBС , значит,
∆АPС - ____________________

АР = АС ∙ sin 60° = _____ = ____

катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла

7) По свойству медиан треугольника:

АО = ___ АР =

8) ∆АOD - ____________________ и

по теореме Пифагора AD =

Тогда КТ =

Ответ: