Теоремы Чевы и Менелая

на сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника

АВС отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем .

Тогда если точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой, то рqr=-1; обратно: если рqr=-1, то точки С1, А1, В1 лежат на одной прямой.

А

В

С

Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Тогда точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

С1

А1

В1

сторонах или продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника АВС

отмечены точки С1, А1, В1, не совпадающие с его вершинами, причем

Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то
рqr=1; обратно: если рqr=1, то прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

А

С

Пусть точка в треугольнике АВС точка А1 лежит на стороне ВС, точка В1 – на стороне АС, точка С1 – на стороне АВ. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

В

С1

А1

В1

N так, что NC=3BN; на продолжении стороны АС за точку

А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение .

8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1

– точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1.
Решение:
Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС – разносторонний.
Пусть С1В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения 8 – х + 5 – х = 4, х =4,5.
Значит, С1В = ВА1 = 4,5, А1С = 5 – 4,5= 0,5 АС1 = 8 – 4,5=3,5 .
В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая …




Ответ: 70 : 9.

АС=9,
А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на

сторонах ВС и АВ.
N – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Точка N лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение BN:NB1.
.

медиана, точка О– середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС

в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (Примечание. Рассмотрите треугольник АDC)
Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.