Графический метод решения задач с параметром на ОГЭ (типовые задачи №23 КИМ ОГЭ)

задачи №23 КИМ ОГЭ)
Подготовила: учитель математики МОУ «Гимназия №1»
г. Железногорска

Курской области
Агашкова Н.А.

пересекает в трех различных точках график функции:
3? + 7, если

? < −3

f(x) = −2,

если − 3?3

3? − 11, если ? > 3
Решение.
3? + 7, если ? < −3

Построим график функции f(x) = −2,

если − 3?3

3? − 11, если ? > 3
1) y=3x+7 , x< -3

2) y= -2, −3?3
3) y=3x-11 , ? > 3

4) y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

если
её угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через

точку (-3-2) и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямой y=3x+7 и y=3x-11

2

6) Найден угловой коэффициент прямой y=kx, проходящей через
точку (-3-2):
-3k = -2
k = 3

7) Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=3x+7, равен 3.
Прямая y=kx имеет с графиком заданной функции три общие точки
2
при 3 < k < 3

?
Ответ: ? < k <3

y=kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями:
2? −

1, если ? > 1,

y = 1, если − 2?1,

b)

2? + 5, если ? < −2.
Ответ: k(1; 2)
2? − 4, если ? > 3,

? = 2, если − 2 ≤ ? ≤ 3, 2? + 6, если ? < −2 .

3

Ответ: k(2 2)
;

Задание для самостоятельного решения

p имеет три общие точки с графиком функции y =

f(x),

где f(x) = ? ? − 4 ,

если ? 0,

? 4 − ? , если ? < 0

Решение.
Построим график функции
f(x) = ? ? − 4 ,

если ?  0,

? 4 − ? , если ? < 0

1) y = x(x - 4) = x² - 4x = (x² - 4x +4) – 4 = (x – 2)² - 4
y = (x – 2)² - 4 , x  0
(2; -4) - вершина параболы
х = 2 – ось симметрии параболы
2) y = x(4 – x) = -x² +4x = -(x² - 4x) = -[(x² - 4x + 4) – 4] = -[(x – 2)² -4] =
= -(x -2) ² + 4
y = -(x -2) ² + 4 , x < 0
(2; 4) - вершина параболы
х = 2 – ось симметрии параболы
3) y = p - уравнение прямой, параллельной оси Ох

= p имеет три общие точки с графиком функции y

= f(x) при -4 < p < 0
Ответ: при -4 < p < 0

y = p (p= 0)
x

y = f(x)

?
? ?
= 1 − ?
? − 1
, где
? + 3

, если ? ≤ 1,
? + 3 , если ? > 1.

При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком этой функции две общие точки.

Ответ: при m = 0; m = 4.

значения параметра а?

Решение.
Решим графически. Построим график левой и правой части

уравнения

y =x2-2x-3

и y = a

1) y= x2 - 2x-3=(x2-2x+1)-1-3=(x-1)2 -4
y = (x-1)2 - 4 –уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, так как a=10
(1;-4) – вершина параболы
Для того чтобы построить график функции y = x2-2x-3, необходимо точки, лежащие на оси Оx и часть графика, находящуюся выше оси Ox, оставить без изменения, а часть графика находящуюся ниже оси Ox, симметрично отобразить в верхнюю полуплосктость.
y = a – уравнение прямой, параллельной оси Ox

a (0 < a < 4)
y = a (a >

4)

y = 4 (a = 4)

x

y

y =x2-2x-3

Ответ:
при a=0, а(4;+) - два корня
при а(0;4) - четыре корня
при а=4 - три корня
при а(-;0) - корней нет.

при всех
положительных значениях параметра a .

Ответ: 4 корня при 0

< a < 7;
3 корня при a = 7
2 корня при a > 7

2. Определите количество корней уравнения |2x2 + 4x - 7|=a при всех положительных значениях параметра а.

Ответ: 4 корня при 0 < a < 9
3 корня при a = 9
2 корня при a > 9

Задания для самостоятельного решения

значениях параметра ? прямая ? = ? не имеет с

графиком функции общих точек.

Решение.
Построим график функции

y =

= −

−x2 − 6x − 5 x2 + 6x + 5

x2 + 8x + 15 x2 + 8x + 15

= −

(x + 1)(x + 5)

(x + 3)(x + 5)

1) ? ? : ? ≠ −3;

? ≠ −5;

2

x2+8x+15

2) y = −x −6x−5 = −

x+3

x+5

x+1 x+5 = − x+1 = − x+3−2 =
x+3 x+3

= − 1 −

2

x+3

=

2

x+3

− 1

точке (−3; −1) построим гиперболу
? = 2
?
Составим таблицу значений для

графика функции ? = ?

?

в новой системе

координат

4) у = а – уравнение прямой, параллельной оси Ох

??
Ответ: при a = -2; a = -1 прямая не
имеет

с графиком функции

? = −?

2

−6?−5

?2+8?+15

общих точек

y=a (a = -2)

y=a

−?? − ?? − ?

y=a

прямая у = b не имеет с графиком
данной функции общих

точек
Ответ: при b= -2; b= -19
2. Постройте график функции и определите, при каких значениях a
прямая у=а не имеет с графиком ни одной общей точки

a) у =

4х2−17х+4

х2−4х

3

Ответ: при а = 4; а =34

b) у =

5х2+14х−3

х2+3х

1

Ответ: при а = 5; а = 53

Задания для самостоятельного решения

прямая у= kх имеет с графиком ровно одну общую
точку
Решение.
Построим график

функции

3х+5 3х+5
у =3х2+5х= х(3х+5)

1) D(у): х0; х - 5

3

2)

3х+5 3х+5 1
y= 3х2+5х= х(3х+5)= х

1

у = х (х0) – уравнение гиперболы

3) y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат

y = kx имеет с данным графиком функции ровно одну

общую точку, если она проходит через точку с

абсциссой равной − ?

?
Найдем ординату этой точки:

5
? = − , 3

− 5

3

1 1
? = = = −
?

3
5

5) Найдем угловой коэффициент
прямой, проходящей через точку

? ?

(− ? ; − ?);

− ? = −

5 3

3 5

9

k = 25

Ответ: при k =

?

??

x

y

5
−

3
-1

каких значениях k прямая у= kx
имеет с графиком ровно одну

общую точку
a) у= ???+?

??+?

Ответ: при k = 81 b) у= ???+??

36

Ответ: при k = 49

при каких значениях m прямая y = m имеет с

графиком ровно две общие точки.
Решение:
1. Построим график функции у= х (х+1)-5х D(y)=R
Т.к функция содержит один знак модуля, то раскроем знак модуля по
определению, получим:
−х х + 1 − 5х, если х < 0,
y = х х + 1 − 5х, если х ≥ 0;
−х2 − х − 5х, если х < 0,
y = х2 + х − 5х, если х ≥ 0;
−х2 − 6х, если х < 0,
y = х2 − 4х , если х ≥ 0.

= −2
; ?0 = −3
у0 = у −3
= −9 + 6

∙ 3 = 9

(-3;9) - вершина параболы у = −?2 −6?
2) у = ?2 − 4?, ? ≥ 0

? 4

?0 = 2

?0= − 2? ; у0 = У 2

?0= 2 ;
= 4 − 8 = −4

(2;-4) - вершина параболы ? = х2 − 4?
2. ? = m - уравнение прямой, параллельной оси Оx

- 4; m = 9
у= ?
? + 1 − 5х

имеет с графиком ровно две общие точки
a) y=|x|(x+1)-6x
Ответ: при m

= -6,25; m = 12,25 b) y=|x|x -|x|- 6x
Ответ: при m = -12,25; m = 6,25
Постройте график функции y=x2 - 8x - 4|x - 3|+15
и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки
Ответ: при m=-1, m=0

Задания для самостоятельного решения

определите, при каких значениях k прямая y =k? не имеет

с графиком общих точек

Решение. y =

4 ? −1 4 ? −1

? −4?2 ? −4 ? 2

= , т.к ?2 = ? 2

1. D(y): ? − 4 ? 2 ≠ 0

? ≠ 0

? 1 − 4 ? = 0
? ≠ 0 или 1 − 4 ? ≠ 0
≠ 1

4 ?
?

≠ 1

4

1
? ≠ ± 4

?
1
=−
?
y=− 1
?
?
1) y= − 1 (? ≠ 0)- уравнение гиперболы
2) Для того чтобы построить график функции
?
у = − 1 ,
необходимо точки,

лежащие на оси Oу, и часть графика, лежащего правее на оси Оу, оставить без изменения, левую часть графика стереть. Для правой части графика построить симметричную относительно оси Оу.
3. y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

если она
4 4
проходит через точки с абсциссами − 1 и

1 . А так же когда совпадает

с осью Ox, в этом случае k=0.
5. Найдем ординаты этих точек:

4

х= − 1; y = −

1

− 1

4

=−4

1

1
; y = − = −4
х= 4 1
4

6.Найдите угловой

коэффициент

прямой y=kx

проходящий через

4

точки − 1 ; −4

4

и 1 ; −4

− 1k = − 4

4

1 k = −4

4
k = 16

k = − 16

Ответ: при k = -16; k = 0; k = 16

(k = -16)
y = k? (k = 16)
1 1
-1
y
x

каких
значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Ответ:

при k = - 2,25; k = 0; k = 2,25

2. Постройте график функции ? =

2,5 ? −1

? −2,5?2

и определите, при каких

значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Ответ: при k = - 6,25; k = 0; k = 6,25

Задания для самостоятельного решения