Математический анализ

Сегменты ( замкнутые множества)
Интервалы (открытые множества)
Интервалы полуоткрытые

полуинтервалы

предел
Второй замечательный предел
Часто используются следующие следствия:

определение особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что

предел отношения бесконечно малых не меняется при замене одной бесконечно малой величины на другую, эквивалентную ей.

Найдём предел

Так как

tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0,

то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример 1 1 1 1 1 1 1

Найти пределы
.
1)
4)
Задача . Найти пределы
3)

некоторой точки х0,
называется непрерывной в точке х0, если предел

функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

.

Локальные свойства непрерывных функций.

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если в этой
точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов
или хотя бы один из них бесконечен.
 

3.8 Точки разрыва, их классификация.

переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в

бесконечность стремится к нулю.

Функция существует всюду, кроме точки x=0, т.е. на интервалах (-, 0) и (0,+) = > x=0 является точкой разрыва 2-го рода, так как

Пример 1 1 1 1 1 1 1. ,

Найти асимптотs функции

если они существуют.

Наклонная асимптота

имеет уравнение

у=х.

одной переменной
Тема 4.1

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Тема 4.2 Производные элементарных функций. Производная функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков

Карл Фридрих Гаусс – родился 30 апреля 1977 года в Германии. Считается "королём математики". Занимался исследованиями в таких областях как: алгебра, дифференциальная и неевклидовая геометрия, математический анализ, теории функций комплексного переменного, теория вероятностей, а также в астрономии, геодезии и механике.  

любой «текущей » точке x, получаем

равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в этой точке

ее, получим первую производную

Если найти производную первой производной f(x),

получим вторую производную функции f(x)

Последовательно продолжая этот процесс можно найти производную функции порядка n как производную функции порядка (n-1)

4.5.

называется формулой Маклорена.
,

определения функции
Установить тип функции (чётность, нечётность, периодичность)

Найти точки разрыва функции и интервалы непрерывности
Установить характер точек разрыва функции
Найти и построить (пунктиром) асимптоты функции
Найти точки пересечения графика функции c осями координат.
Найти интервалы положительности и отрицательности функции
Найти интервалы монотонности функции
Найти интервалы выпуклости функции
Построить график функции

Анри Пуанкаре -
Выдающийся французский учёный. Математик,
физик, философ, астроном, Родился 29 апреля,
1854 года. Являлся членом более 30 академий мира.
Известен как один из создателей топологии и
теории относительности.


-

4. 8. Алгоритм исследования функции одного аргумента

Точки экстремума функции
(точки минимума и максимума функции)

Пусть

функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то точке х = х1 функция имеет минимум.

на интервале (0,2).
Пример 1

Е Ш Н И Е
Так как х=0 не принадлежит области

определения
функции, поэтому точек перегиба нет

Кривая всюду вогнута.

от вогнутой, называется точкой перегиба.
В точке перегиба касательная пересекает кривую.
 
Пусть

кривая определяется уравнением y = f(x).
Если вторая производная f(a) = 0
или f(a) не существует и при переходе
через точку х = а функция f(x) меняет знак,
то точка кривой с абсциссой х = а является
точкой перегиба графика функции.


Николай Боголюбов -
выдающийся советский математик и физик-теоретик,
академик АН СССР. Родился 21 августа 1909 года.
является основателем научных школ по нелинейной
механике и теоретической физике, с 1956 года является
директором лаборатории теоретической физики
Объединённого института ядерных исследований (ОИЯИ)
в Дубне, с 1965 по 1988 год являлся директором ОИЯИ.


 

y

x

о

а

кривой y= f(x) до этой прямой при удалении точки x

в бесконечность стремится к нулю.

Точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат может неограниченно приближаться к своей асимптоте

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту

Кривая, неограниченно приближаясь
к своей асимптоте, может и пересекать
её, причем не в одной точке, как
показано на приведенном ниже
графике функции

Её асимптотой является прямая
у = х.
 

а является асимптотой кривой
y = f(x).
Задача 1.
Найти уравнения

вертикальных асимптот функции

Данная функция существует всюду, кроме точки Х=0, т.е. на интервалах (-, 0) (0,+). Точка Х=0 является точкой разрыва второго рода, так как

,

ш е н и е
Уравнение наклонной асимптоты: у

= х.

Задача 2.

Найти уравнения наклонных асимптот графика функции

.

.

, где

предыдущие результаты исследования
(пример1, задачи 1 и 2), построить график

функции

Р Е Ш Е Н И Е