Презентация по математике на тему:"Применение функции Эйлера при построении уникурсальных звёзд".

«Применение функции Эйлера при построении уникурсальных звёзд»



студента 1 курса Ахметова

Эльдара
Группа 1МЦИ профессия Мастер по обработке цифровой информации
Научный руководитель:
Преподаватель математики
Низамова Г.А.

дважды одну и ту же линию. Это фигура которую можно

начертить одним росчерком не прерывая траекторию рисующего инструмента. Для изучения уникурсальные звезды представляют графами фигурами, состоящими из точек соединенных отрезками.

Актуальность данной темы: в том, что математика(геометрия) тесно связана разными науками в том числе даже с магией.
Цель работы: изучить элементы теории графов рассмотреть и найти возможные формы и способы построения уникурсальных звезд, выявить связь математики и тайных знаний о звездах.
Для достижения поставленной цели мною были определены следующие задачи:
-Изучить историю возникновения теории графов. Рассмотреть элементы теории графов.
-Рассмотреть возможные формы и способы построения уникурсальных звезд с применением функции Эйлера.
-Разработать алгоритм построения уникурсальных звезд.
-Изучение множества геометрических символов и уникурсальных звезд в магии.
Объект исследования: Уникурсальные звёзды, функция Эйлера, магические символы.
Предмет исследования: Применение функции Эйлера при построении уникурсальных звезд.

разными способами звезд с любым количеством, вершин и связь с

магическими символами. В работе рассмотрены уникурсальные звезды, приведено применение функции Эйлера при построении определенным способом таких звезд с любым количеством вершин

Понятие уникурсальных фигур
Известна притча: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру. Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз.












Рис.1 (фигура вычерчена одним непрерывным росчерком)

путешествии по мостам г. Кенигсберга. На модели земельные участки, (рис.2)

разъединенные рукавами реки, как бы сжаты в точки А,В,С,D- назовём их узлами ,а мосты как бы вытянуты в линии a,b,c,d,e,f,g- назовём их ветвям, соединяющими 2 последовательных узла. Узел назовём чётным, если в нём сходится чётное число концов ветвей, и нечётным, если в нём сходится нечётное число концов ветвей.
















Рис.2(геометрическая модель к задаче.)

из разделов которой является теория графов. Леонард Эйлер и его вклад

в развитие топологии. Топология- одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в. Она изучает те свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности.

но и открыл красивое их свойство, доказав такую изящную теорему:
Пусть

на плоскости задано замкнутая сеть, состоящая из m узлов и n ветвей, каждая из которых соединяет какие-либо 2 узла, и пусть эти ветви делят плоскость на l областей , включая область , находящуюся вне сети , тогда
m–n+l=2. 














Рис.3( замкнутая сеть)

которых можно обвести карандашом контур заданной сети, не отрывая карандаш

от бумаги и проходя по каждой ветви один и только один раз. Если возможен обход всей сети одним маршрутом, то она называется уникурсальной сетью, а маршрут –уникурсальным обходом. Примером такого обхода мы можем рассмотреть в задаче о мостах Санкт-Петербурга.

не проводя одну и ту же линию дважды, такая фигура

называется уникурсальной. Уникурсальные пути в графе (не обязательно весь граф, может быть только его часть) называются Эйлеровыми путями.

Рис.5(Эйлеровыми пути)
Замечательно, что формула остаётся верной, если от двухмерных фигур перейти к трёхмерным. Так, для любого
выпуклого многогранника
В-Р+Г=2.
где В-число вершин, Р- число рёбер, Г-число граней.
Я проверил формулу Эйлера на кубе, пирамиде, октаэдре
8-12+6=2
4-4+2=2
6-12+8=2




Рис.6 (куб, пирамида, октаэдр)

фигурами, полученными последовательным соединением точек, количеством более двух, расположенных в

определенном порядке, например, на окружности.
Простой пример – пятиконечная звезда.



















Рис.7(пятиконечная звезда)

различных звезд зависит от количества различных шагов. Наша задача определить

такие шаги, тем самым найдя количество форм звезд. Для этих целей можно применить функцию Эйлера, так как шаг должен быть взаимно простым с числом вершин.

Рассмотрим множество целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n. Количество этих чисел обозначается φ(n) и называется функцией Эйлера.
Если p – простое число, φ(p)=p-1так как все числа меньшие p взаимно просты с p.
Пусть n=pk, то каждое p-ое число не взаимно просто с pk. Поэтому φ(pk)=pk -pk/p=pk - pk-1.
Воспользуемся свойством φ(mn) =φ(m)φ(n), где m и n – взаимно простые числа, и получим функцию Эйлера в общем виде.

принимает вид: При этом полагают, что число 1 взаимно просто со

всеми натуральными числами.

Если количество вершин - составное число, то его можно разложить на простые в соответствии с основной теоремой арифметики: и с помощью функции Эйлера находим количество взаимно простых чисел с n:Далее делим на 2, т.к. шаг построения должен быть меньше половины n. Общий ответ: всего существует звезд с вершинами.
Следовательно, если n=360, то можно построить 96:2=48 различных звезд. Если количество вершин простое, то функция Эйлера принимает вид: Тогда существует ровно геометрически различных звезд (форм такой звезды). Любое число будет взаимно простым с, а поэтому может быть использовано в качестве шага построения.
Если, то есть количество вершин – степень простого числа, то согласно функции Эйлера существует ровно звезд. Здесь = - функция Эйлера, равная количеству взаимно простых с и не превосходящих.
Например, если n=25=52.Следовательно, звезд с 25 вершинами существует 20:2=10.Для определения шагов построения звёзд можно выписать все натуральные числа, меньшие затем оставить взаимно-простые числа с n. Оставшиеся числа показывают возможные шаги построения звезд.
   Пример. Найдем шаги построения звезды с 18 вершинами. Выпишем все числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Зачеркнем числа: 2, 3, 4, 6, 8. Осталось три числа: 1, 5 и 7, значит, восемнадцати конечную звезду можно построить с полученными шагами и получить звезды (18,1), (18,5), (18,7).

как он её называл, гигиея (ύγιεια) (в честь греческой богини

здоровья Гигиеи) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного сегмента пентакла на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение, которое в свою очередь пересекает параллельно направленную нить (φ).

При переходе к гексаграмме ситуация становится более интересной.
Эта фигура довольно древняя.
Когда-то она называлась гексаграмма (hexagram),hexalpha, соломонова печать и звезда Давид.
4+6+7+9=26  4+8+12+2=26 9+5+10+2=26 11+6+8+1=26 11+7+5+3=26 1 + 12 + 10 + 3 =26

общая вершина, а также с учетом того, что числа от

1 до 12 дают в сумме 78, мы получаем магическую константу, равную (2х78)/6, или 26. Как показывает иллюстрация, магическая граф гексаграммыгексаграмма существует. Задача подсчета всех возможных магических гексаграмм, без учета поворотов и отражений, не является тривиальной.

Один из способов получения новой гексаграммы состоит в том, чтобы преобразовать гексаграмму в дуальный граф.








Шестиконечная числовая звезда, изображенная на
рисунке, обладает «магическим» свойством: все
шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму
цифры на линиях которого сходящиеся в
вершинах, соответствуют рядам магической
гексаграммы.

к нам от старшего поколения. Такие знаки наносятся на защитные

талисманы, на предметы, которые постоянно находятся под рукой. Составляются и набиваются татуировки, также магические знаки вышиваются на одежде.

Теперь становится очевидным, что этот граф топологических эквивалентен скелету октаэдра (справа), одного из пяти тел Платона. Этот восьмигранник (октаэдр) мы можем произвольным образом повернуть, а также зеркально отразить. Затем соответствующим образом перенесем цифры обратно на гексаграмму (картирование ребер происходит в соответствии с начальной нумерацией). Таким образом, мы получаем новое расположение цифр на гексаграмме.Для получения дополнительных решений можно обратиться и к другим преобразованиям гексаграммы, не связанным с вращением или отражением октаэдра. Кроме того, магическая звезда имеет своеобразное «дополнение», которое можно септаграмма получить, заменив каждое число на его разность с (n+1), где n — наибольшее из чисел. Итак, для гексаграммы существует 80 различных решений, 12 из которых обладают тем свойством, что сумма внешних вершин дает магическую постоянную.Можно ли в септаграмме, или семиконечной звезде, разместить числа от 1 до 14, чтобы эта звезда стала магической? Да, и я предлагаю, как самым элементарным способом найти одно из его 72 решений. Его магическая постоянная равна (2х105)/7, или 30.

Лучший способ решить эту задачу — это нарисовать звезду крупным планом, а цифры записать на вырезанных кружочках. Перемещая кружочки, можно методом проб и ошибок найти решение. Скажу сразу, что этот процесс захватывающий и вам трудно будет остановиться, пока вы не получите решения. Одно из решений для октаграммы, или восьмиконечной звезды, показано на следующем рисунке. Обратите внимание на то, что магическую постоянную (34) также дает сумма четырех углов каждого из двух больших квадратов. Верхняя правая часть рисунка слева показывает соответствующий граф. Октаграмма имеет 112 решений.

каждого из нас, и оно активируется посредством очищенных вибраций любви,

веры, доверия, истины и сострадания, что позволяет нам расшириться в следующий ряд размерных полей существования и еще больше подняться.

Рисунки, обозначающие магические символы и знаки можно использовать известные или создать свои, самостоятельно, особенно, если этим занимается человек творческий, хорошо разбирающийся в символике и чувствующий, что ему подходит лучше. Знак будет и талисманом, и оберегом, и украшением в этом случае. Знаки в различных религиях разные, и означают каждый что-то своё. Изображение шестиконечной звезды в еврейских источниках впервые обнаружено на еврейской печати VII века до н. э. С периода Второго Храма гексаграмма украшает многие синагоги. В качестве специфического еврейского символа гексаграмма впервые использовалась в 1354 году у евреев Праги. Примерно в XIX веке евреи избрали Звезду Давида в качестве общенационального символа. Над орлом, звездочки, которые вместе образуют шестиконечную звезду

осознания, сохраненные нами в размерном фазовом замке, это полностью освобождает

нас от всех низших размерных голографических систем реальности. Следовательно, это ведет к миру. В техническом смысле, это электромагнитное поле с температурой около 4º по шкале Кельвина, пребывающее в основном в микроволновом диапазоне, по крайней мере, в третьем измерении, и имеющее полностью геометрическую природу. Более конкретно, эта геометрия называется «священной», так как именно этот тип геометрии лежит в основе создания прототипов всего сотворённого. Поле МерКаБа чрезвычайно сложное, оно включает пять Платоновых тел и прочие священные многогранники. Оно простирается предположительно через все возможные параллельные вселенные и вселенные иных измерений и, возможно, способно изменять свою природу с электромагнитной на любую необходимую. Есть ещё и другой существенный фактор, на котором мы сосредоточимся в этом повествовании. Тринадцать тысяч лет назад мы осознавали о себе что-то, что мы с тех пор совершенно забыли: Геометрические энергетические поля вокруг наших тел могут быть определенным образом активированы, что тоже связано с нашим дыханием. Эти поля вращались со скоростью, близкой к скорости света, вокруг наших тел, но их вращение замедлилось и остановилось после Падения. Когда это поле опять активируется и вращается, его называют МерКаБа, и полезность его в этой Реальности несравненна. Оно дает нам расширенное осознание того, кто мы есть, соединяет нас с высшими уровнями сознания и восстанавливает память о бесконечных возможностях нашего существа. Здоровая вращающаяся МерКаБа имеет диаметр около пятидесяти – шестидесяти футов, соразмерно росту человека. Движение вращающейся МерКаБа можно показать на экране компьютера при использовании соответствующей аппаратуры, и вид её идентичен инфракрасной тепловой оболочке Галактики – той самой основной форме традиционной летающей тарелки. Принцип меркабауже давно используется в военно- промышленно комплексе всех стран и организаций которые отвечают за секретные военные разработки.

элементы теории графов. Приведено применение функции Эйлера при построении. Разработан алгоритм построения

уникурсальных звезд. Результаты исследования показали, что гипотеза верна: свойство графа быть уникурсальным является способом определения возможности решения задачи-головоломки свойство графа быть уникурсальным является способом определения возможности решения задачи- головоломки.