1 векторы в пространстве

еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами.

которого указано, какой из его концов считается началом, а какой

– концом, называется вектором.
Вектор характеризуется следующими элементами:
1. начальной точкой (точкой приложения);
2. направлением;
3. длиной («модулем вектора»).

точка В, то вектор обозначается АВ или а.
От любой точки

можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.

Обозначение вектора.

вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается:

0.

Абсолютной величиной (длиной или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора обозначается |а|.

c
b

d

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

сторону, то векторы называются сонаправленными.
Обозначаются : а↑↑b.
Если векторы

и коллинеарные и их лучи направлены в разные стороны, то векторы называются противоположно направленными.
Обозначаются : a↑↓d.
Нулевой вектор считают сонаправленным с любым.

равны.

3 см:
коллинеарные векторы;
сонаправленные векторы;
равные векторы;
найдите длину векторов АВ ; АА1

; АС ; DB1 .

Ь). Отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а.

Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС =а+Ь.

хотя при их сложении и не получается треугольника.

параллелограма, известным из курса планиметрии.

с справедливы равенства:

а + b = b + a
(переместительный

закон);

(a + b) + c = a + (b + с)
(сочетательный закон).

как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем

их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

которого с вектором b равна вектору а. Разность а -

b векторов а и b можно найти по формуле:
а - b = а + (-b)

называется такой вектор b, длина которого
равна |k|*|а|, причем

векторы а и b сонаправлены при k O и противоположно направлены при k<0.
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

а, b и любых чисел k, f справедливы равенства:

(kf)a=k(fa) (

сочетательный закон);

k(a + b)= ka + kb (первый распределительный закон);

(k + f) a =ka + fa (второй распределительный закон).

вектору а, т.е.
(-1)a = -а.
если вектор а ненулевой,

то векторы (-1)а и а противоположно направлены.
если векторы а и b коллинеарны и а О, то существует число k такое, что b= ka.