Динамические структуры данных

их направленных ребер (дуг), причем в каждый узел (кроме корневого)

ведет ровно одна дуга.
Корень – это начальный узел дерева.
Лист – это узел, из которого не выходит ни одной дуги.

корень

Какие структуры – не деревья?

по стрелкам в узел x.
Потомок узла x – это узел,

в который существует путь по стрелкам из узла x.
Родитель узла x – это узел, из которого существует дуга непосредственно в узел x.

Сын узла x – это узел, в который существует дуга непосредственно из узла x.
Брат узла x (sibling) – это узел, у которого тот же родитель, что и у узла x.
Высота дерева – это наибольшее расстояние от корня до листа (количество дуг).

– это корень и несколько связанных с ним деревьев.
Двоичное (бинарное)

дерево – это дерево, в котором каждый узел имеет не более двух сыновей.

Пустая структура – это двоичное дерево.
Двоичное дерево – это корень и два связанных с ним двоичных дерева (левое и правое поддеревья).

// полезные данные
Node *left, *right; // ссылки на

левого // и правого сыновей
};
typedef Node *PNode;

Применение:
поиск данных в специально построенных деревьях (базы данных);
сортировка данных;
вычисление арифметических выражений;
кодирование (метод Хаффмана).

поиска
Двоичная куча
АВЛ-дерево
Красно-чёрное дерево
Матричное дерево
Дерево Фибоначчи
Суффиксное дерево

ключами, а справа – с бóльшими.
Ключ – это характеристика узла,

по которой выполняется поиск (чаще всего – одно из полей структуры).

Как искать ключ, равный x:
если дерево пустое, ключ не найден;
если ключ узла равен x, то стоп.
если ключ узла меньше x, то искать x в левом поддереве;
если ключ узла больше x, то искать x в правом поддереве.

выполняются следующие
дополнительные условия (свойства дерева поиска):
Оба поддерева —

левое и правое, являются двоичными деревьями поиска.
У всех узлов левого поддерева произвольного узла X значения ключей данных меньше, нежели значение ключа данных узла X.
У всех узлов правого поддерева произвольного узла X значения ключей данных не меньше, нежели значение ключа данных узла X.

1 элемент.
Число сравнений – N.
Поиск по дереву (N элементов):
При каждом

сравнении отбрасывается половина оставшихся элементов.
Число сравнений ~ log2N.

быстрый поиск

нужно заранее построить дерево;
желательно, чтобы дерево было минимальной высоты.

левого поддеревьев которых отличаются более, чем на 1.
Дерево двоичного поиска

становится несбалансированным, когда в него постоянно добавляются элементы большего или меньшего размера

содержать не более 2 детей.
Но он может иметь 1

ребенка или не иметь детей.
Если в дереве есть такие хотя бы один такой узел, дерево называют неполным.

состоит из трех операций:
Поиск узла, в котором хранится пара (key,

value) с key = K.
Добавление в дерево пары (key, value) = (K, V).
Удаление узла, в котором хранится пара (key, value) с key = K.

ли узел с ключом K в дереве Т, и если

да, то вернуть ссылку на этот узел.
Алгоритм:
Если дерево пусто, сообщить, что узел не найден, и остановиться.
Иначе сравнить K со значением ключа корневого узла X.
Если K=X, выдать ссылку на этот узел и остановиться.
Если K>X, рекурсивно искать ключ K в правом поддереве Т.
Если K

(K, V) в дерево Т.
Алгоритм:
Если дерево пусто, заменить его на

дерево с одним корневым узлом ((K,V), null, null) и остановиться.
Иначе сравнить K с ключом корневого узла X.
Если K>=X, рекурсивно добавить (K,V) в правое поддерево Т.
Если K

K.
Задача: удалить из дерева Т узел с ключом K (если

такой есть).
Алгоритм:
Если дерево T пусто, остановиться
Иначе сравнить K с ключом X корневого узла n.
Если K>X, рекурсивно удалить K из правого поддерева Т.
Если KЕсли K=X, то необходимо рассмотреть три случая.
Если обоих детей нет, то удаляем текущий узел и обнуляем ссылку на него у родительского узла.
Если одного из детей нет, то значения полей второго ребёнка m ставим вместо соответствующих значений корневого узла, затирая его старые значения, и освобождаем память, занимаемую узлом m.
Если оба ребёнка присутствуют, то
найдём узел m, являющийся самым левым узлом правого поддерева с корневым узлом Right(n);
присвоим ссылке Left(m) значение Left(n)
ссылку на узел n в узле Parent(n) заменить на Right(n);
освободим память, занимаемую узлом n (на него теперь никто не указывает).

Tree - адрес корня,
// x

- что ищем
// Выход: адрес узла или NULL (не нашли)
//---------------------------------------
PNode Search (PNode Tree, int x)
{
if ( ! Tree ) return NULL;
if ( x == Tree->data )
return Tree;
if ( x < Tree->data )
return Search(Tree->left, x);
else
return Search(Tree->right, x);
}

дерево пустое: ключ не нашли…

нашли, возвращаем адрес корня

искать в левом поддереве

искать в правом поддереве

дереву
// Вход: Tree - адрес корня,
//

x - что добавляем
//----------------------------------------------
void AddToTree (PNode &Tree, int x)
{
if ( ! Tree ) {
Tree = new Node;
Tree->data = x;
Tree->left = NULL;
Tree->right = NULL;
return;
}
if ( x < Tree->data )
AddToTree ( Tree->left, x );
else AddToTree ( Tree->right, x );
}

дерево пустое: создаем новый узел (корень)

адрес корня может измениться

добавляем к левому или правому поддереву

порядке.
Обход ЛКП («левый – корень – правый»):
125
98
76
45
59
30
16
Обход ПКЛ («правый –

корень – левый»):

Обход КЛП («корень – левый – правый»):

Обход ЛПК («левый – правый – корень»):

порядке ЛКП
// (левый

– корень – правый)
// Вход: Tree - адрес корня
//----------------------------------------------
void LKP( PNode Tree )
{
if ( ! Tree ) return;
LKP ( Tree->left );
printf ( "%d ", Tree->data );
LKP ( Tree->right );
}

обход этой ветки закончен

обход левого поддерева

вывод данных корня

обход правого поддерева

три условия:
Значение в любой вершине больше, чем значения её потомков.
Каждый

лист имеет глубину (расстояние до корня) либо d либо d-1. Иными словами, если назвать слоем совокупность листьев, находящемся на определённой глубине, то все слои, кроме, может быть, последнего, заполнены полностью.
Последний слой заполняется слева направо.
Существуют также кучи, где значение в любой вершине, наоборот, меньше, чем значения её потомков. Такие кучи называются min-heap, а кучи, описанные выше — max-heap.

любой вершине меньше, чем значения ее потомков

двоичных деревьев поиска, гарантирующих логарифмический рост высоты дерева от числа

узлов и быстро выполняющее основные операции дерева поиска: добавление, удаление и поиск узла.
Сбалансированность достигается за счет введения дополнительного атрибута узла дерева — «цвет». Этот атрибут может принимать одно из двух возможных значений — «чёрный» или «красный».
Красно-чёрное дерево обладает следующими свойствами:
Все листья черные.
Все потомки красных узлов черные (т.е. запрещена ситуация с двумя красными узлами подряд).
На всех ветвях дерева, ведущих от его корня к листьям, число чёрных узлов одинаково. Это число называется чёрной высотой дерева.

При этом для удобства листьями красно-чёрного дерева считаются фиктивные «нулевые» узлы, не содержащие данных.

его вершины высота её двух поддеревьев различается не более чем

на 1.
АВЛ-деревья названы по первым буквам фамилий их изобретателей, Г. М. Адельсона-Вельского и Е. М. Ландиса, которые впервые предложили использовать АВЛ-деревья в 1962

точки зрения внешнего логического представления, сбалансированное, сильно ветвистое дерево во

внешней памяти.
Сбалансированность означает, что длина пути от корня дерева к любому его листу одна и та же.
Ветвистость дерева — это свойство каждого узла дерева ссылаться на большое число узлов-потомков.
С точки зрения физической организации B-дерево представляется как мультисписочная структура страниц внешней памяти, то есть каждому узлу дерева соответствует блок внешней памяти (страница). Внутренние и листовые страницы обычно имеют разную структуру.

могут содержать только 2-вершины (вершины с одним полем и 2-мя

детьми) и 3-вершины (вершины с 2-мя полями и 3-мя детьми).
Листовые вершины являются исключением — у них нет детей (но может быть одно или два поля). 2-3 деревья сбалансированы, то есть каждое левое, правое, и центральное поддерево одинаковой высоты, и таким образом содержат равное (или почти равное) число данных.

/
Как вычислять автоматически:
Инфиксная запись, обход ЛКП
(знак операции между операндами)
(a +

b) / (c + d – 1)

необходимы скобки!

Постфиксная запись, ЛПК (знак операции после операндов)

a + b / c + d – 1

польская нотация,
Jan Łukasiewicz (1920)

скобки не нужны, можно однозначно вычислить!

Префиксная запись, КЛП (знак операции до операндов)

/ + a b - + c d 1

обратная польская нотация,
F. L. Bauer and E. W. Dijkstra

1 - /
Алгоритм:
взять очередной элемент;
если это

не знак операции, добавить его в стек;
если это знак операции, то
взять из стека два операнда;
выполнить операцию и записать результат в стек;
перейти к шагу 1.

X =

может содержать только однозначные числа и знаки операций +-*\. Вычислить

это выражение.

Алгоритм:
ввести строку;
построить дерево;
вычислить выражение по дереву.

Ограничения:
ошибки не обрабатываем;
многозначные числа не разрешены;
дробные числа не разрешены;
скобки не разрешены.

новый узел и записать в него этот элемент; иначе...
среди элементов

от first до last включительно найти последнюю операцию (элемент с номером k);
создать новый узел (корень) и записать в него знак операции;
рекурсивно применить этот алгоритм два раза:
построить левое поддерево, разобрав выражение из элементов массива с номерами от first до k-1;
построить правое поддерево, разобрав выражение из элементов массива с номерами от k+1 до last.

first

last

k

k+1

k-1

(старшинство) – число, определяющее последовательность выполнения операций: раньше выполняются операции

с большим приоритетом:
умножение и деление (приоритет 2);
сложение и вычитание (приоритет 1).

Выход: приоритет или 100, если не операция
//--------------------------------------------
int Priority ( char

c )
{
switch ( c ) {
case '+': case '-': return 1;
case '*': case '/': return 2;
}
return 100;
}

сложение и вычитание: приоритет 1

умножение и деление: приоритет 2

это вообще не операция

строка, номера первого и последнего // символов рассматриваемой

части
// Выход: номер символа - последней операции
//--------------------------------------------
int LastOperation ( char Expr[], int first, int last )
{
int MinPrt, i, k, prt;
MinPrt = 100;
for( i = first; i <= last; i++ ) {
prt = Priority ( Expr[i] );
if ( prt <= MinPrt ) {
MinPrt = prt;
k = i;
}
}
return k;
}

проверяем все символы

вернуть номер символа

нашли операцию с минимальным приоритетом

};
typedef Node *PNode;
Создание узла для числа (без потомков)
PNode NumberNode (

char c )
{
PNode Tree = new Node;
Tree->data = c;
Tree->left = NULL;
Tree->right = NULL;
return Tree;
}

возвращает адрес созданного узла

один символ, число

первого и последнего // символов рассматриваемой части
// Выход:

адрес построенного дерева
//--------------------------------------------
PNode MakeTree ( char Expr[], int first, int last )
{
PNode Tree;
int k;
if ( first == last )
return NumberNode ( Expr[first] );
k = LastOperation ( Expr, first, last );
Tree = new Node;
Tree->data = Expr[k];
Tree->left = MakeTree ( Expr, first, k-1 );
Tree->right = MakeTree ( Expr, k+1, last );
return Tree;
}

осталось только число

новый узел: операция

Вход: адрес дерева
// Выход: значение выражения
//--------------------------------------------
int CalcTree (PNode Tree)
{
int

num1, num2;
if ( ! Tree->left ) return Tree->data - '0';
num1 = CalcTree( Tree->left);
num2 = CalcTree(Tree->right);
switch ( Tree->data ) {
case '+': return num1+num2;
case '-': return num1-num2;
case '*': return num1*num2;
case '/': return num1/num2;
}
return 32767;
}

вернуть число, если это лист

вычисляем операнды (поддеревья)

выполняем операцию

некорректная операция

дерева
//--------------------------------------------
void main()
{
char s[80];
PNode Tree;
printf ( "Введите выражение

> " );
gets(s);
Tree = MakeTree ( s, 0, strlen(s)-1 );
printf ( "= %d \n", CalcTree ( Tree ) );
getch();
}

первой из которых 3, а во второй – 2 камня.

У каждого игрока неограниченно много камней.
Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 1 камень в какую-то кучу.
Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 16.
Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок?

6
5, 2
4, 3
9, 3
4, 3
36, 2
4, 18
15, 2
27, 3
игрок 1
игрок

2

игрок 2

9, 2

4, 3

4, 3

ключевой ход

выиграл игрок 1