Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Дисциплина: Математика Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна доцент кафедры
Содержание
- 1. Дисциплина: Математика Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна доцент кафедры
- 2. ЛЕКЦИЯ № 2 Основные формулы
- 3. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ:1. Правило сложения и правило произведения
- 4. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ:3.Теоремы сложения вероятностей.4.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
- 5. ЛИТЕРАТУРА Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком
- 6. ЛИТЕРАТУРА Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, Высшее образование,2009.
- 7. ЛИТЕРАТУРА Гмурман В.Е. Руководство к решению задач
- 8. Основные понятия комбинаторикиПусть задана некоторая конечная совокупность
- 9. Задачами поиска количества (числа) всех выборок заданного
- 10. Учебный вопрос.Правила сложения и произведения комбинаторики.
- 11. Определение. Событием называется всякий факт, который может
- 12.
- 13. Задача 1.На завтрак в буфете Вова может
- 14. Ответ к задаче 1.
- 15. В зависимости от условий, которым подчиняются элементы
- 16. Выборка элементов множества называется упорядоченной выборкой, если
- 17. На практике не всегда возможно и удобно
- 18. УЧЕБНЫЙ ВОПРОС. Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания)
- 19. Введем обозначение:
- 20. Пусть задано множество, состоящее из n элементов.Размещения.
- 21. Задание
- 22. Ответ к заданию Вычислим число размещенийб)в)
- 23. Задача 2. Собрание по важному вопросу избрало
- 24. Ответ к задаче 2. Собрание по важному
- 25. Размещения с повторениямиВсякая упорядоченная с возвращением выборка,
- 26. Задача 3В коридоре висят три лампочки, каждая
- 27. Ответ к задаче 3В коридоре висят три
- 28. ПерестановкиРазмещения из n элементов по n называются
- 29. Задача 4Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
- 30. Ответ к задаче 4
- 31. Задача 5. Сколькими
- 32. Перестановки с повторениямиВсякая упорядоченная с возвращением выборка,
- 33. Задача 6Сколько существует различных шестизначных чисел, в
- 34. Ответ к задаче 6Сколько существует различных шестизначных
- 35. СочетанияВсякая неупорядоченная без возвращения выборка, состоящая из
- 36. Задача 7. Пусть имеется множество,
- 37. Задача 8. Нужно выбрать в подарок
- 38. Задача 10. Сколькими
- 39. Сочетания с повторениямиВсякая неупорядоченная с возвращениями выборка,
- 40. Задача 11.В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
- 41. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
- 42. Вывод по формулам комбинаторики
- 43. Выучить определения и формулы размещения, сочетания без
- 44. Учебный вопрос.Теоремы сложения вероятностей.
- 45. Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в
- 46. Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в
- 47. Противоположное событие
- 48. Разностью событий А и В называется событие
- 49. Теорема 1 сложения вероятностей. Вероятность появления
- 50. Пример. Контрольная работа состоит из трех задач
- 51. Слайд 51
- 52. Теорема 2 сложения вероятностей. Вероятность появления
- 53. Пример. Из 25 студентов группы 10 человек
- 54. Обозначим через А событие – выбранный спортсмен
- 55. Определение. Событие А называется независимым от события
- 56. Учебный вопрос.Условная вероятность.Теоремы умножения вероятностей.
- 57. Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении,
- 58. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления двух
- 59. В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность
- 60. Пример. Из 25 билетов студент выучил 20.
- 61. Слайд 61
- 62. Вероятность появления хотя бы одного события
- 63. Пример. Пусть S — множество всех
- 64. Слайд 64
- 65. Пример. Два стрелка независимо друг от друга
- 66. Слайд 66
- 67. Задание на самоподготовкуГмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, Высшее образование,2009, с. 30-51.
- 68. Скачать презентанцию
ЛЕКЦИЯ № 2 Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. .18
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Дисциплина:
Математика
Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна
доцент кафедры математики и методики обучения
математике ЮУрГГПУ
Слайд 2 ЛЕКЦИЯ № 2 Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения
и умножения вероятностей.
.
18
Слайд 3
ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ:
1. Правило сложения и правило произведения комбинаторики.
2. Основные формулы
комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания)
Примеры решения задач .
Слайд 4
ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ:
3.Теоремы сложения вероятностей.
4.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
Слайд 5ЛИТЕРАТУРА
Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком изложении.
Баврин И.И. Высшая
математика.
Данко П.Е., Попов А.Г и др. Высшая математика в упражнениях
и задачах, часть II. 
Слайд 6
ЛИТЕРАТУРА
Гмурман В.Е.
Теория вероятностей
и математическая
статистика,
Высшее образование,
2009.
Слайд 7ЛИТЕРАТУРА
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. М.: Высшее образование. 2007.
Слайд 8Основные понятия комбинаторики
Пусть задана некоторая конечная совокупность различных элементов, которую
будем называть генеральной совокупностью.
Любой конечный набор, даже повторяющихся, элементов
генеральной совокупности будем называть выборкой. Количество элементов, составляющих выборку, назовем ее объемом. 
Слайд 9Задачами поиска количества (числа) всех выборок заданного объема, составленных из
элементов данной генеральной совокупности, удовлетворяющих определенным условиям,
занимается раздел дискретной
математики - комбинаторика.
Слайд 11Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не
произойти в результате опыта.
При этом тот или иной результат опыта
может быть получен с различной степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.
Слайд 13Задача 1.
На завтрак в буфете Вова может выбрать плюшку, бутерброд,
пряник или кекс, а запить может чаем, соком, ряженкой. Из
скольки вариантов завтрака может Вова выбирать?
Слайд 15В зависимости от условий, которым подчиняются элементы выборки, обычно рассматриваются
два способа выбора элементов: с повторением, без повторения.
Слайд 16Выборка элементов множества называется упорядоченной выборкой, если учитывается не только
состав выборки, но и порядок следования ее элементов.
В противном
случае выборка считается неупорядоченной. 
Слайд 17На практике не всегда возможно и удобно выписывать все выборки,
чтобы определить их число, поэтому запишем формулы, позволяющие определять число
различных выборок элементов множества.
Слайд 20Пусть задано множество, состоящее из n элементов.
Размещения.
Всякая упорядоченная выборка
без возвращений, состоящая из k элементов множества, называется размещением без
повторений из n элементов по k.Число размещений вычисляется по формуле
Слайд 23Задача 2.
Собрание по важному вопросу избрало комиссию, в состав
вошли 8 человек. Члены счетной комиссии должны распределить обязанности председателя,
заместителя и секретаря. Сколькими способами можно распределить обязанности?
Слайд 24Ответ к задаче 2.
Собрание по важному вопросу избрало комиссию,
в состав вошли 8 человек.Члены счетной комиссии должны распределить обязанности
председателя, заместителя и секретаря. Сколькими способами можно распределить обязанности? По правилу произведения или по формуле
Слайд 25Размещения с повторениями
Всякая упорядоченная с возвращением выборка, состоящая из k
элементов множества, причем каждый элемент множества может повториться в выборке
до k раз, называется размещением с повторением из n элементов по k.Число всех размещений с повторениями
Слайд 26Задача 3
В коридоре висят три лампочки, каждая независимо от другой
может быть включена или выключена. Сколько имеется различных способов освещения
(и неосвещения) коридора?
Слайд 27Ответ к задаче 3
В коридоре висят три лампочки, каждая независимо
от другой может быть включена или выключена. Сколько имеется различных
способов освещения (и неосвещения) коридора?Решение ---,+++,+--,-+-,--+,++-,-++,+-+.
Или по формуле
Слайд 28Перестановки
Размещения из n элементов по n называются перестановками из n
элементов.
Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле
Слайд 31
Задача 5.
Сколькими способами можно расставить
9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги
стояли рядом?Решение:
Если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять способами.4 определенные книги можно переставлять
способами.
Тогда всего перестановок по правилу умножения будет
Слайд 32Перестановки с повторениями
Всякая упорядоченная с возвращением выборка, в которую 1-ый
элемент множества входит k1 раз, 2-ой – k2 раз, n-ый
– kn раз, называется перестановкой с повторением из n элементов.Число всех перестановок с повторениями при условии, что
Слайд 33Задача 6
Сколько существует различных шестизначных чисел, в которых цифра «3»
повторяется один раз, цифра «1»- два раза, цифра «5» –
три раза?
Слайд 34Ответ к задаче 6
Сколько существует различных шестизначных чисел, в которых
цифра «3» повторяется один раз, цифра «1»- два раза, цифра
«5» – три раза?
Слайд 35Сочетания
Всякая неупорядоченная без возвращения выборка, состоящая из k элементов множества,
называется сочетанием из n элементов по k.
Число сочетаний вычисляется по
формуле
Слайд 36 Задача 7.
Пусть имеется множество, содержащие 4
буквы:
{А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из
указанных букв по три. Решение:
Здесь в число сочетаний не включены, например АВС,
ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок
элементов в сочетании не учитываются.
Слайд 37
Задача 8.
Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся
книг.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Задача 9.
Имеется 10
белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были
3 черных?
Решение: Белые шары: .
Черные шары: . Тогда .
Слайд 38
Задача 10.
Сколькими способами можно группу из
12 человек
разбить на 2 подгруппы, в одной из которых
должно бытьне более 5, а во второй – не более 9 человек?
Решение:
Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4,
либо из 5 человек: вычислим
, , .
Имеем
Слайд 39Сочетания с повторениями
Всякая неупорядоченная с возвращениями выборка, состоящая из k
элементов множества, называется сочетанием с повторением из n элементов по
k.Число всех сочетаний с повторениями
Слайд 40Задача 11.
В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами
можно
купить 9 пирожных?
Слайд 43Выучить определения и формулы размещения, сочетания без повторений, с повторениями.
Баврин
И.И. Высшая математика,2007. С. 515-516.
Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком
изложении, 2003. С.220-221.
Слайд 45Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении в результате
испытания хотя бы одного из этих событий.
Пусть А - идет
дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;Ω – пространство элементарных исходов испытания.
Слайд 46Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении в
результате испытания всех этих событий.
Пусть события: А – «из колоды
карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А∙В означает «вынута дама пик».
Слайд 47 Противоположное событие (по
отношению к рассматриваемому событию А) – это событие, которое происходит,
если не происходит событие А.
Слайд 48Разностью событий А и В называется событие А\В, которое состоит
в том, что происходит событие А, но не происходит событие
В.
Слайд 49Теорема 1 сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из
двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие.
Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.Р(А1)+… + Р(Аn) = 1.
В частности,
Слайд 50Пример. Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и
трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна
0,8, а по геометрии - 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов?Решение.
Слайд 52Теорема 2 сложения вероятностей.
Вероятность появления хотя бы
одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий
без вероятности их совместного появленияРасширенная теорема сложения
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС).
Слайд 53Пример. Из 25 студентов группы 10 человек занимаются сноубордом, 5
– горными лыжами, 5 - сноубордом и горными лыжами, а
остальные - другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом?Решение.
Слайд 54Обозначим через А событие – выбранный спортсмен занимается только горными
лыжами; через В – выбранный спортсмен занимается только сноубордом.
Тогда
событие - наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом можно записать как А + В.Так как события А и В совместны, то
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Найдем вероятности событий А, В и АВ.
Итак, Р(А)=5/25=0,2; Р(В)=10/25=0,4;
Р(АВ)=5/25=0,2 .
Следовательно, Р(А+В)=0,2+0,4–0,2=0,4.
Слайд 55Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность
события А не зависит от того, произошло событие В или
нет.Определение. Два события называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.
Слайд 57Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А
произошло, называется условной вероятностью события В.
Обозначается РА(В) или Р(В/А).
По определению
Слайд 58Теорема умножения вероятностей.
Вероятность появления двух событий равна
произведению вероятности наступления одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое событие произошлоР(АВ)=Р(А)∙Р(В/А) или
Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)
Слайд 59В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного
из них на условные вероятности всех остальных при условии, что
все предыдущие события уже совершилисьР(А1...Аn)=Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аn/А1А2...Аn-1)
Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид:
Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)
Слайд 60Пример. Из 25 билетов студент выучил 20. Какова вероятность того,
что он вытянет счастливый билет, который знает, если он вытягивает
билет:а) первым; б) вторым.
Решение.
а) Р= 20/25=4/5.
б) обозначим события:
А – первый студент вынул «счастливый» билет, В – второй студент вынул «счастливый» билет.
Слайд 62Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть А1,...,Аn
– независимые события. Событие А – наступило хотя бы одно
из Аi, А=А1+...+Аn.Если Аi несовместны, то
Р(А)=Р(А1+...+Аn)=Р(А1)+...+Р(Аn).
Если Аi совместны, то рассмотрим противоположное событие - ни одно из Аi не наступило,
Тогда
Слайд 63 Пример. Пусть S — множество всех исходов при трехкратном
бросании монеты. Обозначим через А событие «в первый раз выпал
герб», через В событие «выпало не менее двух гербов». Найдите вероятности событий Р(А), Р(В) и Р(АВ), если все исходы бросаний равновероятны. Независимы ли эти события?Решение.
Слайд 65Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель.
Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,9, второго - 0,75.
Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель?Решение.
Обозначим через Аi событие – i-ый стрелок попадет в цель;
противоположное событие - i-ый стрелок не попадет в цель, i =1, 2.
Тогда событие - хотя бы один стрелок попадет в цель
Слайд 67Задание на самоподготовку
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, Высшее
образование,2009, с. 30-51.
