Ekonometria

nas zbiorowości wówczas do pełnego opisu wystarczą nam metody statystyki

opisowej.
W wielu jednak sytuacjach mówiąc o zbiorowości opieramy się na danych pochodzących z próby.
Aby prawidłowo uogólniać wyniki z próby na populację generalną należy stosować metody statystyki matematycznej.

Estymacja – po co i dlaczego?

dział wnioskowania statystycznego.
Estymacja zatem to dział wnioskowania statystycznego będący zbiorem

metod pozwalających na uogólnianie wyników badania próby losowej na nieznaną postać i parametry rozkładu zmiennej losowej całej populacji oraz szacowanie błędów wynikających z tego uogólnienia.

Estymacja – po co i dlaczego?

na dwie grupy:
Estymacja parametryczna - metody znajdowania nieznanych wartości

parametrów rozkładu
Estymacja nieparametryczna - metody znajdowania postaci rozkładu populacji

parametrów np. średniej arytmetycznej w zbiorowości generalnej, odchylenia standardowego.
testowania hipotez,

które z kolei dotyczy weryfikacji przypuszczeń odnośnie określonego poziomu zmiennej losowej lub kształtu rozkładu w populacji generalnej.

Estymacja – po co i dlaczego?

na niemożność poznania parametru θ z populacji generalnej wnioskujemy o

wartości parametru θ w oparciu o zbadanie próby

innych parametrów populacji generalnej) – podajemy jedną liczbę odpowiadającą przypuszczalnej

wartości parametru
2. przedziałowe szacowanie parametru – podajemy pewien przedział, w którym przypuszczalnie znajduje się prawdziwa wartość parametru

obliczonej na podstawie próby

do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej.


Estymator – szacowany parametr

jak dobrać estymator, aby jego rozkład gwarantował najlepsze oszacowanie?

są różne dla różnych prób pochodzących z tej samej populacji;
Dlatego

też nie można oczekiwać, że otrzymany estymator Z będzie prawdziwą wartością estymowanego parametru θ;
Powstaje więc błąd losowy parametru θ, który dla danej próby jest różnicą między oceną parametru dokonaną na podstawie tej próby a prawdziwa wartością parametru:
ε = Z - θ

oszacowania nie będą w sposób systematyczny zaniżane ani zawyżane;
2. zgodność

– w miarę wzrostu próby (n) prawdopodobieństwo, że różnica między estymatorem a parametrem jest dowolnie małe, zbliża się do jedności;
3. efektywność – z 2-óch nieobciążonych estymatorów określonego parametru ten jest najefektywniejszy, który ma mniejszą wariancję.

równa wartości szacowanego parametru tzn. zachodzi równość:
E( Zn) = θ
Innymi

słowy, przy wielokrotnym losowaniu próby średnia z wartości przyjmowanych przez estymator nieobciążony jest równa wartości szacowanego parametru.
Obciążoność oznacza, że oszacowania dostarczone przez taki estymator są obarczone błędem systematycznym

Estymator nieobciążony

błędem systematycznym. Różnica:
Bn = E (Zn ) ) –

θ
nazywa się obciążeniem estymatora.
Jeżeli Bn > 0 to estymator Zn daje przeciętnie za wysokie oceny parametru θ;
Jeżeli Bn < 0 to estymator Zn daje przeciętnie za niskie oceny parametru θ.

Estymator obciążony

się estymatorem asymptotycznie nieobciążonym.
Uwaga! Postulat nieobciążoności estymatora parametru oznacza praktyczne

żądanie, aby rozkład estymatora był scentrowany wokół prawdziwej wartości parametru, a więc by jego odchylenia od parametru miały charakter losowy.

ze wzrostem liczebności próbki n jest on stochastycznie zbieżny do

wartości estymowanego parametru θ, tzn. jeśli jest spełniony warunek:


gdzie σ jest dowolnie mała liczbą dodatnią.
Zgodność estymatora Z oznacza, że wraz ze wzrostem liczebności próbki n, prawdopodobieństwo dowolnie małej różnicy między wartością estymatora Z a estymowanym parametrem θ dąży do 1.
Wynika stąd, że warto powiększyć próbkę, ponieważ przy wzroście n rośnie prawdopodobieństwo tego, że wartość estymatora parametru Z będzie się niewiele różnić od prawdziwej wartości estymowanego parametru θ, powodując tym samym mały błąd estymacji.

Estymator - zgodność

estymacji punktowej sytuacja jest tym korzystniejsza, im wartość Zn oscyluje

bliżej σ, a więc im wariancja jest mniejsza.
Wyrażenie:

jest wariancją estymatora Zn.

Uwaga! Estymator jest tym efektywniejszy, im mniejsza jest jego wariancja i odchylenie standardowe.

Estymator - efektywność

liczbową wartość określonego parametru rozkładu cechy w całej populacji
Estymacja przedziałowa

–gdy wyznaczamy granice przedziału liczbowego, w których, z określonym prawdopodobieństwem, mieści się prawdziwa wartość szacowanego parametru.

trudnych zagadnień;
Nie ma jednej uniwersalnej metody estymacji;
Strona rachunkowa metod estymacji

jest zawiła, więc dla większych modeli (z wieloma zmiennymi objaśniającymi) estymacja wymaga wykorzystania komputerów;
Estymacja jest jednym z najważniejszych działów statystyki matematycznej
Estymacja jest o tyle ważna, że od estymacji zależy jakość modelu ekonometrycznego i jego praktyczna użyteczność

sformułowanych wcześniej modeli ekonometrycznych
Ogólny zapis modelu ekonometrycznego:

Y= f(X1, X2 , ….,Xk , α1, α2,…,αk , ξ) (1)
gdzie:
Y- zmienna objaśniana;
X1, X2, ….., Xk – zmienne objaśniające
α1, α2 ,…., αk – parametry strukturalne modelu
ξ – składnik losowy

zastosowania procedury numerycznej zwanej metodą najmniejszych kwadratów.
Estymatory mają wówczas pożądane

własności, o ile spełnione są pewne istotne założenia.
Założenia te dotyczą głównie:
- specyfikacji modelu i
- własności składnika losowego.

tj.:
Yt = α0 + α1 X1t + α2

X2t +..... + αk Xkt + ξt
gdzie t= 1,2,….n

Założenie 2
Zmienne objaśniające są nielosowe
Zmienna Y jest losowa, bowiem jest funkcją losowego ξ. Przyjmijmy Y- koszt produkcji, X – wartość produkcji. W modelu mogą zmieniać się rolami.
Uwaga! Niekonsekwencja klasycznej ekonometrii – w efekcie Y traktowana jest raz jako losowa a X nie i odwrotnie

jest większa od liczby parametrów do oszacowania:

n > k+1

Parametrów jest k+1:
wyraz wolny + k parametrów przy zmiennych X

W praktyce żądamy aby n była liczbą kilkakrotnie większą od k+1 (np. dwukrotnie)

liniową innych zmiennych objaśniających (włączając w ten zbiór także „sztuczną”

zmienną X0 = 1, która „stoi” przy wyrazie wolnym modelu)
Jest to założenie o braku współliniowości.
Nie istnieje zależność liniowa między wartościami z próby dla jakichkolwiek 2-óch, lub większej ilości zmiennych objaśniających.
Chodzi to, aby żadna ze zmiennych nie wnosiła do modelu tych informacji które już są wniesione przez inne zmienne.

losowy ma wartość oczekiwaną równa zeru dla wszystkich i=1,2,…., n:

E (ξi ) = 0

Oznacza to, że czynniki nie uwzględnione w modelu nie oddziałują w systematyczny sposób na średnią wartość zmiennej Y:
- wpływy dodatnie (+) i wpływy ujemne(-) „znoszą się” i w sumie efekt jest zerowy.

zmiennej losowej ξi jest taka sama dla wszystkich obserwacji

D2 (ξi ) = σ2
dla i=1,2,…., n:
Przyjmujemy, że zmienne losowe mają jednakową dyspersję. Oznacza to, że wpływy na Y czynników nie ujętych w modelu mają takie same rozproszenie (niezależnie od numeru obserwacji)
Założenie o jednakowych wariancjach nosi nazwę założenia o homoscedastyczności.
Jego przeciwieństwem jest założenie o heteroscedastyczności (nierówna dyspersja)

losowej ξi są nieskorelowane, czyli nie występuje autokorelacja składników losowych):

cov (ξi , ξj ) = σi,j (ξ) = 0 dla i≠j
i=1,2,…., n; j=1,2,…., n :

Oznacza to, że wpływy na Y czynników nie ujętych w modelu są nieskorelowane pomiędzy różnymi obserwacjami
Jest to założenie często niespełnione w modelach trendu

rozkład normalny.
Biorąc pod uwagę założenia 4i 5 oznacza to, że

ξi ma rozkład N (0, σ2) dla i= 1,2,….,n

Niekiedy założenia 1-7 uzupełnia się o założenie 8 a model określa się wówczas mianem klasycznego modelu normalnej regresji liniowej
Założenie 8 ułatwia konstruowanie hipotez statystycznych służących weryfikacji modelu
Założenia dotyczace składnika losowego są nieznane, sprawdzone mogą być dopiero po oszacowaniu parametrów modelu

+ α1 X1t + α2 X2t +..... + αk Xkt

+ ξt
gdzie t= 1,2,….n

Wielkości parametrów αj (j= 0,1,2…,k) w modelu liniowym są niewiadomymi’
Po to by uzyskać wiedzę na temat wielkości parametrów modelu musimy posłużyć się danymi empirycznymi Y i Xk (k=1,2,….,n).
Na podstawie danych szacujemy nieznane parametry αi na postawie reakcji zmiennej zależnej na zmiany wielkości zmiennych niezależnych zaobserwowanych w próbie.
To co uzyskujemy na podstawie danych jest jedynie szacunkiem i będzie mniej lub bardziej dokładnym przybliżeniem prawdziwych wielkości parametrów αi.
W rezultacie oszacowania parametrów uzyskane na podstawie 2-óch prób z reguły będą różne.

wielkości parametrów mogą różnić się w zależności od wylosowanej próby.
Niedokładności

w oszacowaniach wielkości parametrów wynikają z zaburzeń losowych (ξ), które uniemożliwiają dokładne zmierzenie parametrów modelu.

.... αk
(j=0,1,2....k) określamy mianem regresji liniowej yi na x1i ,

…, xki .
Zgodnie z przyjętą konwencją oszacowania nieznanych parametrów α0 , α1 .... αk uzyskanych za pomocą MNK oznaczamy zwykle α0 , α1 .... αk .
Przewidywane na podstawie oszacowanego modelu wartości zmiennej zależnej Y nazywamy wartością teoretyczną (dopasowaną):
= a0 + a1 X1 + a2 X2 +..... + ak Xk
Wartości dopasowane różnią się od rzeczywistych wartości Y, ponieważ w modelu oszacowanym zamiast prawdziwych (nieznanych) wartości parametrów α0 , α1 .... αk używamy ich oszacowań α0 , α1 .... αk i pomijamy błąd losowy

zmiennej zależnej (objaśnianej) Y, a wartością dopasowaną tej zmiennej:
e =

Y- (a0 + a1 X1 + a2 X2 +..... + ak Xk )
e = Y- a0 - a1 X1 - a2 X2 -..... - ak Xk


Relację między resztami, obserwacjami i oszacowaniami parametrów można zapisać w sposób następujący:
= a0 + a1 X1 + a2 X2 +..... + ak Xk + e
Taki zapis pokazuje „pokrewieństwo” między α0 , α1 ... αk i a0 , a1 .... ak oraz między ξ i e.
Tak jak a0 , a1 .... ak są oszacowaniami α0 , α1 ... αk tak reszty e stanowią oszacowania składnika losowego ξ.
Uwaga! Reszty e nie są równe ξ

jest odległość wartości teoretycznych od wartości obserwowanych

Najlepiej dopasowanym jest ten

model, w którym reszty są - co do wartości bezwzględnych – najmniejsze.
Estymator MNK znajdujemy, szukając takich a0 , a1.. ak dla których łączna odległość jest najmniejsza

najlepiej dopasowanej prostej stosuje się kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń.
Metoda

wyznaczania parametrów prostej oparta na tym kryterium nosi nazwę metody najmniejszych kwadratów (MNK).
Stosując MNK wyznacza się na podstawie danych (xi, yi), i=1,2,…, n, parametry 0 i 1 prostej tak, by suma kwadratów odchyleń yi od 0 + 1xi była najmniejsza:

+ α1 X1 + ξ

Wielkości parametrów αi (i= 0,1) w

modelu liniowym są niewiadomymi.
Po to, by uzyskać wiedzę na temat wielkości parametrów modelu musimy posłużyć się danymi empirycznymi.
Parametry αi (i= 0,1) szacujemy na podstawie danych:

przyjmuje się, że w modelu obok wymienionych zmiennych występuje zmienna

x01=1 (przy parametrze α0), a więc:

to odchylenia wartości teoretycznych

od wartości empirycznych y) w zapisie skalarnym ma postać:

funkcji ψ względem wektora a i przyrównując ją do zera.
●

Wzór na wektor ocen parametrów strukturalnych przybiera ostatecznie postać:

● Podstawiając do wzoru: