канонические уравнения кривых второго порядка

каноническое уравнение
7. Парабола и её каноническое уравнение
Полярное уравнение эллипса,

студентов

плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных

= 2a > 2c

= 2a > 2c
|F1 F2 | = 2c

системе координат фокусы имеют координаты

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

(1)
тогда

(1) тогда

(1) тогда

(1) тогда

(1) Получим

y) эллипса удовлетворяют уравнению (2).

y) эллипса удовлетворяют уравнению (2). Однако это уравнение пока нельзя

M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на эллипсе.

M (x; y) удовлетворяет соотношению (1), т.е. лежит на эллипсе.

тогда выразим :

тогда выразим :

тогда выразим :

тогда выразим :

тогда выразим :

координаты любой точки M (x; y) эллипса, т.е. любой точки,

входят в уравнение в четной степени, то если на эллипсе

входят в уравнение в четной степени, то если на эллипсе

входят в уравнение в четной степени, то если на эллипсе

означает, что эллипс расположен внутри прямоугольника, сторонами которого являются прямые

эллипса называется отрезок, одним концом которого является центр симметрии эллипса,

эллипса называется отрезок, одним концом которого является центр симметрии эллипса,

эллипса называется отрезок, одним концом которого является центр симметрии эллипса,

полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой е:

полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой е:

полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой е:

фокусы, и отстоящие от центра эллипса на расстояние a/e, где

фокусы, и отстоящие от центра эллипса на расстояние a/e, где

чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к

выполняется

выполняется

выполняется

требуется доказать, что

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит эллипсу,

(<=)

касательной к эллипсу
Оптическое свойство эллипса

для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух

2c

2c
|F1 F2 | = 2c

системе координат фокусы имеют координаты

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

системе координат фокусы имеют координаты
F1 (-c; 0), F2

от модуля и преобразуем

от модуля и преобразуем

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат

от модуля и преобразуем
возведём обе части в квадрат

на получим

на получим

(2)

то для этой точки выполнятся равенство |F1М - F2 М

:

подставим

:

подставим

:

подставим

:

подставим

,

, значит

, значит

После замены получим

, значит

После замены получим

, значит

После замены получим




аналогично

, значит

После замены получим




аналогично

координаты любой точки M (x; y) гиперболы, т.е. любой точки,

и y входят во второй степени

и y входят во второй степени => оси Ox и

,т.е. и

,т.е. и

– вершинах гиперболы и называется действительной осью.

– вершинах гиперболы и называется действительной осью.
a и b

что получим точки

что получим точки

что получим точки

что получим точки

так как прямая определяется уравнением I степени, а гипербола -

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

или
Найдем расстояние d от точки M(x,y), лежащей на

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до

расстояние d от точки M(x,y) рассматриваемой части гиперболы до

начала координат, расстояние от точки М(x;y), лежащей на дуге гиперболы,

заданой

то она имеет вторую асимптоту
которая обладает свойством аналогичным свойству первой

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

до фокуса к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и

гиперболы на расстояние а/е (где a – действительная полуось, е

>1, то директрисы отстоят от центра на расстоянии меньшем действительной

достаточно, чтобы
отношение расстояния от этой точки до фокуса гиперболы

выполняется

выполняется

выполняется

требуется доказать, что

выполняется

требуется доказать, что

Найдём




выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется

требуется доказать, что

найдём

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

выполняется докажем, что точка принадлежит гиперболе,

(<=)

гиперболе
Оптическое свойство гиперболы

точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки

до её директрисы называется параметром параболы.

до её директрисы называется параметром параболы.

Эксцентриситет параболы принимается равным 1

фокус F будет иметь координаты

фокус F будет иметь координаты F( ;0)

фокус F будет иметь координаты F( ;0)

а уравнение

фокус F будет иметь координаты F( ;0)

а уравнение

когда r = d

когда r = d

r=|FM|=

когда r = d

r=|FM|=

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=

когда r = d

r=|FM|=

d=|PM|=

То уравнение параболы примет вид

входит во 2-й степени, то

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

входит во 2-й степени, то ось Ox является осью симметрии

в двух точках

в двух точках (т.к. прямая определяется уравнением 1-ой степени, а

Разрешая уравнение (1) относительно

Разрешая уравнение (1) относительно

Разрешая уравнение (1) относительно

Разрешая уравнение (1) относительно

Разрешая уравнение (1) относительно

, где р>0,

, где р>0,

сводиться к

, где р>0,

сводиться к

, где р>0,

сводиться к

параболу с вершиной в начале координат и осью симметрии Oy

параболы

полярная система координат, если эта плоскость ориентирована, на ней выбраны

М
амплитуда

ϕ

М по её полярным координатам ϕ,r.

М по её полярным координатам ϕ,r.
Формулы (2) и (3) позволяют

нами линий второго порядка,
(если L-гипербола, то имеем в виду

нами линий второго порядка,
(если L-гипербола, то имеем в виду

случае гиперболы берем фокус ближайший к вершине рассматриваемой ветви).

фокусу. Полярную ось расположим на прямой DF, причем положительное направление

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда

перпендикулярно к фокальной оси) называется фокальным параметром (p).
Тогда