Кривые второго порядка

эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.
Общее уравнение

кривой второго порядка

В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

А(a; b) на расстояние R.
А
R
М(x; y)
Для любой точки М

справедливо:

Каноническое уравнение окружности

которых до двух точек той же плоскости F1 и F2,

называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

F1

F2

-c

c

M(x; y)

r1

r2

Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F1 F2]

Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=a, y=b.

Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии эллипса называют центром эллипса.

(y  

 кривая всюду выпуклая .

0 – окружность)

до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

Директрисы эллипса – это прямые

F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
Каноническое уравнение эллипса:
-5
5
-3
3

F2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала

координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

которых до двух точек той же плоскости F1 и F2,

называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

F1

F2

-c

c

M(x; y)

r1

r2

ограниченной прямыми x=a.
2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и

две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.
Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью.
3) Из уравнения гиперболы получаем:



Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе:

имеет асимптоты
Напомним:
Прямая ℓ

называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат.
Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные.
Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности.
Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k1,2x+b1,2 , где

(y  

x =  a – граничные);
г)

 кривая всюду выпуклая .

асимптоты заданы уравнениями:
Решим систему:
Точка А лежит на гиперболе

≥ 0.
2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox).
Ось

симметрии параболы называют осью параболы.
3) Из уравнения параболы получаем:
Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе:
а) D(y) = [0; +) , y(0) = 0 ;
б) асимптот нет (проверить самим);
в)  функция всюду возрастает;
г)  кривая всюду выпуклая .

если 2Bxy=0:
Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

(1; -1), получим новую систему координат:

уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому

виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами:

Угол α удовлетворяет условию:

В случае, если A = C, то