Круги Эйлера

Группа 13491

МГВРК 2012

отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется

в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

существо, A — человек, C — неживая вещь.

изображающие все комбинаций n свойств, то есть конечную булеву

алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера

пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841—1902) в

книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она

оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
Для наглядности множества на плоскости изображаются кругами или иными плоскими геометрическими фигурами, замкнутыми контрами, которые называются кругами Эйлера – Венна

Связь теории множеств с кругами Эйлера

из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек

берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. Сколько шестиклассников:
1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки.

Пример задач:

- являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть

кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.
2. 35 - 20 = 15 (человек)- не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)
3. 35 - 25 = 10 (человек) - не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
4. 35 - 25 = 10 (человек) - являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
5. 35 - 20 = 15 (человек) - являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Решение

метро, 15 — автобусом, 23 — троллейбусом, 10 — и

метро, и троллейбусом, 12 — и метро, и автобусом, 9 — и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Задача 2

всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом

— (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2
Аналогично получаем: х − 6 — только автобусом и х + 4 — только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х+ (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30, отсюда х= 3.

Решение:

в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В

драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 3

Тогда в круге Д - 27 ребят, в круге Х

- 32 человека, в круге С - 22 ученика.
Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор или драмкружок, 22-(5+3+3)=11 занимаются только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Решение:

— трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается

более общий случай — круги Эйлера.

Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами.

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1843—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Диаграмма Венна

Назад

Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) —

швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России. Назад

июня 1902, Карлсруэ) — немецкий математик и логик.

После изучения математики

и физики в Хайдельберге и Кёнигсберге последовала хабилитация в Цюрихе в 1865 году. Профессор математики Дармштадтского технического университета с 1874 года, затем с 1876 года в прежнем техническом университете в Карлсруэ.

Центральное место в сфере его научных интересов занимали основания математики, теория функций и комбинаторный анализ. В работе Итерированные функции (нем. Ueber iterirte Functionen; 1871) он исследовал функциональные уравнения, которые сегодня называют Уравнениями Шрёдера, играющие важную роль в теории динамических систем. Когда логика стала самостоятельной научной дисциплиной, он начал заниматься алгеброй и символической логикой. Его работы по алгебре логики получили международную известность. Он усовершенствовал логику Джорджа Буля и разработал в 1877 году полную систему аксиом булевой алгебры. Эрнст Шрёдер в трёхтомной Алгебре логики (нем. Algebra der Logik; 1890 — 1895), в отличие от Буля, строит теорию логического исчисления (его авторское название современной математической логики) на основе исчисления классов. Он вносит вклад в развитие реляционной алгебры, вводит понятие нормальная форма и развивает принцип двойственности в классической логике; использует метод элиминации кванторов для вопросов разрешимости.

июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик,

математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук, иностранный член Французской Академии наук. назад