Лекции 8-9. Магнитное поле в веществе

индукции и намагниченности
Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля
Магнитная восприимчивость и

магнитная проницаемость
Поле на границе раздела магнетиков
Физическая природа диа- и парамагнетизма
Ферромагнетики

в проводниках, ввести то или иное вещество (или иначе: проводник

с током разместить в реальной среде – не в вакууме), то поле изменится.
Определение: Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием внешнего магнитного поля намагничиваться – приобретать магнитный момент.
Намагниченное вещество создает свое магнитное поле В’, которое вместе с исходным полем В0, обусловленным токами проводимости, образует результирующее поле (в пространстве, занятом магнетиком): В = В0 + B’ (1)
Замечание: Для объяснения явления намагничения тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют элементарные круговые токи (молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом pmi и создает в пространстве магнитное поле. В отсутствие поля В0 моменты отдельных молекул ориентированы беспорядочно, поэтому их результирующее поле равно 0; соответственно:

преимущественную ориентацию в одном направлении, вещество – намагничивается, т.е. и

образуется поле B’.
Определение: Степень намагничения магнетика характеризуют суммарным магнитным моментом единицы объема вещества и называют эту величину вектором намагниченности:

Вектор намагниченности можно также представить как: J=n., где n – концентрация молекул, - средний магнитный момент одной молекулы.
Поле B’, также как и поле В0, не имеет источников («магнитных зарядов»), поэтому для результирующего поля В при наличии магнетика справедлива теорема Гаусса:

т.е. силовые линии В всегда замкнуты.

Намагниченность вещества

для ряда магнетиков – индуцированием) молекулярных токов, которые могут образовывать,

так называемые, макроскопические токи намагничивания I’.
Замечание: Обычные токи, текущие по проводникам и связанные с дрейфом в веществе носителей тока, называют токами проводимости I.
Рассмотрим некоторый цилиндр из однородного магнетика, намагниченность J которого однородна и направлена вдоль оси. Молекулярные токи в магнетике ориентированы как показано на рисунке. Причем у соседних молекул токи в местах их соприкосновения взаимно компенсируются. Неском-пенсированными остаются только токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра.
Эти токи образуют макроскопический поверхностный ток намагничивания I‘пов, который для длинного магнетика определяют через линейную плотность тока i’ [А/м]: I‘пов = i’.l

Намагниченность вещества

молекулярные токи «выстраиваются» аналогичным образом, но так как их величина

различна (на рисунке эти токи растут вдоль оси х), то полной взаимной компенсации этих токов в объеме магнетика – не происходит и образуется (наряду с поверхностным током I’пов) макроскопический объемный ток намагничивания I’об , который течет вдоль оси y и может быть определен через поверхностную плотность тока j’ [А/м2]: I’об = j’.∆S , где ∆S – сечение магнетика в плоскости zx.
Вообще, можно утверждать, что вклад намаг- ниченного магнетика в результирующее поле В равен вкладу, который был бы создан тем же распределением токов I’ в вакууме. Однако это распределение зависит не только от конфи- гурации и свойств магнетика, но и от искомого поля В. Поэтому задача по нахождению В с использованием закона Био-Савара и формулы (1) сразу решена быть не может. Необходимо искать иной, обходной путь к решению этой задачи.

Намагниченность вещества

произвольному замкнутому контуру Γ равна алгебраической сумме токов намагничивания I’,

охватываемых данным контуром.
Вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Γ; причем, как видно из рисунка, только те молекулярные токи, которые обвиваются вокруг контура и пересекают натянутую поверхность S один раз, учитываются в этой сумме.
Если каждый молекулярный ток равен Iм а площадь его контура Sм, то, как видно из следующего рисунка, элемент dl контура Γ обвивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом dV= Sм.cosα.dl, где α - угол между dl и намаг- ниченностью J в данном месте. Эти токи пересекают поверхность S один раз, и их вклад в общий ток I’ составляет: dI’=Iм.n.dV, где n – концентрация молекул магнетика.

Намагниченность вещества

получаем: dI´= IM.SM.n.cosα.dl = J.cosα.dl = , где учтено,

что IM.SM = рm, а рm.n = J. Проинтегрировав последнее выражение для dI´по контуру Г, приходим к доказываемому положению
Ротор намагниченности
Воспользовавшись теоремой Стокса (переход от циркуляции по контуру к потоку ротора через поверхность, натянутую на
контур) , преобразуем интегральную форму теоремы о циркуляции вектора J в дифференциальную форму.
Соответствующее уравнение должно выпол-
няться для любого контура с площадкой dS в случае, когда
его подынтегральные выражения равны, т. е.
Ротор намагниченности равен плотности тока намагничивания в той же точке вещества.

Намагниченность вещества

магнитное поле В0, возникают, как уже установлено, токи намагничивания I´и,

следовательно, для результирующего поля можно записать:
где I – ток проводимости и I´- ток намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.
Так как определение токов намагничивания в общем случае задача сложная, то использование формулы (5) для нахождения В становится крайне трудным. Поэтому следует установить некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого определяется только токами проводимости.

Вектор напряженности магнитного поля и его связь с векторами индукции и намагниченности

I´через циркуляцию , получаем после
деления на μ0 уравнение

(5) в виде:
Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают как
и называют напряженностью магнитного поля.

Вектор напряженности магнитного поля и его связь с векторами индукции и намагниченности

вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов

проводимости, охватываемых этим контуром, т. е.
Замечание: Размерность вектора Н в системе СИ [А/м].
Дифференциальная форма
Получается с помощью теоремы Стокса
Ротор вектора Н равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Теорема о циркуляции напряженности магнитного поля

от индукции В в данной точке вещества. Однако принято связывать

J с вектором Н и, как показывает эксперимент, для большой группы изотропных магнетиков выполняется их линейная зависимость:
где χ – магнитная восприимчивость вещества (величина безразмерная, характеризует магнитные свойства вещества).
Замечание: В отличие от диэлектрической восприимчивости κ, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной.
Классификация магнетиков (на основе χ)

Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость

Диамагнетики
(χ < 0)

Парамагнетики
(χ > 0)

Ферромагнетики
(χ >> 0)

выполняется (9), определение напряженности (6) может быть записано как

или представлено в виде
Вводя понятие магнитной проницаемости среды как μ=1+ χ получаем прямую связь двух основных векторов магнитного поля:
Так как для вакуума имеем В0= μ0.Н0, то вследствие (10) магнитная проницаемость μ показывает, во сколько раз магнитное поле токов проводимости усиливается за счет намагничения среды.
Замечания: У диамагнетиков μ чуть меньше 1, у парамагнетиков μ чуть больше 1; причем как у тех, так и у других магнитные свойства выражены очень слабо и на практике часто для них принимают μ≈ 1.
К диамагнетикам относятся: инертные газы, молекулярные водород и азот, графит, цветные металлы (Zn, Cu, Au, Ag), вода, глицерин и др.
К парамагнетикам относятся: кислород О2, оксид азота NO, оксид марганца MnO, хлорное железо FeCl2, щелочные (Na, K), щелочно-земельные (Са, Ва) и переходные (Мо, W) металлы.

Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость

изотропных магнетиков. Эти вектора должны удовлетворять определенным граничным условиям, которые

проистекают из: 1) теоремы Гаусса для В, т. е. и
2) теоремы о циркуляции Н, т. е.
Условие для В
Представим очень малой высоты цилиндр, расположенный на границе раздела магнетиков. Поток вектора В наружу из этого цилиндра определяется через его торцы (потоком через боковую поверхность пренебрегаем ввиду малости высоты):

Поле на границе раздела магнетиков

п

μ1

μ2

п′

ΔЅ

В2

В1

В2n.ΔS + B1n´.ΔS = 0. Взяв обе проекции В на общую нормаль n с учетом В1n´=-B1n
получаем В2n = B1n , т. е. нормальная составляющая вектора В разрыва не претерпевает на границе раздела сред.
В то же время с учетом μ2.μ0.Н2n= μ1.μ0.Н1n
получаем , т. е. нормальная состав-ляющая вектора Н претерпевает разрыв.

магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i [А/м].

Применим теорему о циркуляции вектора Н к малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной l (последняя также достаточно мала). Таким образом, имеем уравнение:
H2τ.l + H1τ´.l = in.l , где in – проекция вектора тока проводимости i на нормаль n к контуру.

Поле на границе раздела магнетиков

После замены H1τ´ на - H1τ и сокра-щения на l получаем:
H2τ – H1τ = in , т. е. тангенциальная составляющая вектора Н, вообще говоря, при переходе границы маг-нетиков претерпевает скачок, свя-занный с наличием поверхностных токов проводимости.

μ2

μ1

l

i

n

H1

H2

τ

τ´

α

В случае, когда i = 0 имеем равенство H2τ = H1τ , а для индукции или в виде

магнетиков
Для случая отсутствия токов проводимости, как видно из

рис. 1, имеем , так как В2n = B1n .
При переходе в более «магнитоплотную» (μ2 > μ1) среду происходит увеличение густоты линий В (т. е. В2 > В1), а линии Н терпят разрыв из-за поверхностных токов намагничивания и, следовательно, Н2 < Н1 (см. рис. 2).
Замечание: На особенностях преломления силовых линий основана магнитная защита с помощью замкнутой железной оболочки (рис. 3), в которой магнитное поле будет концентрироваться, а в полости оболочки поле будет сильно ослаблено по сравнению с внешним.

обраще-ния электрона на орбите. Орбитальному
току соответствует орбитальный магнитный момент электрона

pm, модуль которого равен pm= I.S = e.ν.π.r2 =

Магнитные свойства тел (сред) определяются магнитными свойствами составляющих их атомов и молекул, т. е. движением электрически заряженных частиц в последних. Движение электронов в атомах подчиняется законам квантовой механики; в частности, в дальнейшем мы узнаем, что понятие траектории к электрону – не применимо.
Однако диамагнетизм вещества удается объяснить с позиций простейшей боровской модели атома, согласно которой электроны в атомах движутся по стационарным круговым орбитам.
Пусть электрон движется со скоростью v по круговой орбите радиуса r. Такое движение определяет элементарный круговой ток (его также называют орбитальный ток):

Физическая природа диа- и парамагнетизма

-

e/m

pm

v

m.v

r

I

моменту называется гиромагнитным отношением (здесь орбитальным гиромаг-нитным отношением):

Движущийся

по орбите электрон также обладает моментом импульса относительно центра атома О: Le = m.(r x v), его модуль равен Le = m.v.r . Этот момент здесь принято называть орбитальным механическим моментом.

Физическая природа диа- и парамагнетизма

pm

Le

Электронная прецессия

Вследствие вращения вокруг ядра атома электрон оказывается подобен механическому волчку. Т. е. электрону – свойственны все особенности поведения гироскопов под действием внешних сил; в частности, при соответствующих условиях должна возникать прецессия электронной орбиты.

где угол α = [pm,^ B]. За время dt плоскость

вектора Le повернется
на угол dθ (центральный угол)
а после деления на dt получаем модуль
Частоту ωL называют частотой ларморовой прецессии.

Электронная прецессия
Если атом находится во внешнем магнитном поле В, то на орбиту электрона действует вращающий момент M = (pm x B), стремящийся установить pm электрона по направлению поля (при этом механический момент установится против поля).

Таким образом, под действием момента М векторы pm и Le, а вместе с ними и вся орбита электрона, совершают прецессию вокруг направления вектора В (оси z || B).
Определим угловую скорость этой прецес-сии ωL. Для этого запишем уравнение
моментов: или для элементарного при-ращения вектора механического момента

Физическая природа диа- и парамагнетизма

α

Le.sinα

В

ωL

dLe

dθ

M

его среднее значение ==1/2.r2, где ω – частота орбитального вращения

электрона и в случае прохождения орбиты электрона через направление В r’=r.sinωt. После осреднения по всем возможным углам α (они равновероятны) имеем =2/3.r2, и тогда получаем среднее значение индуцированного момента =

Электронная прецессия
Ларморова частота не зависит ни от угла наклона орбиты электрона по отношению к В (или от угла α) (векторная связь ω = e/2m.B), ни от радиуса орбиты r, ни от скорости электрона v и, следовательно, для всех электронов атома – одинакова.

Прецессия электрона вокруг оси z, проходящей через ядро атома и z || B, вызывает появление дополнительного кругового тока I’= e.νL= e.ωL/2π, которому будет соответствовать индуцированный магнитный момент величиной pm’=I’.S’=
= e.ωL/2π.(π.r’2)= , где
r’ – кратчайшее расстояние электрона до оси z.

Физическая природа диа- и парамагнетизма

α

z

ωL

I´

r´

S´

pm´

r´

pm

Ларморова прецессия возникает у всех без исключения веществ. Однако для

парамагнетиков, у которых атомы обладают еще и собственным магнитным моментом, внешнее поле В не только индуцирует отрицательный момент p’m/A, но и оказывает на собственные магнитные моменты атомов ориентирующее действие, устанавливая их по полю. Возникающий при этом положительный момент может превысить отрицательный индуцированный момент. В итоге образуется некоторый положительный результирующий момент и вещество становится слабо намагниченным, т.е. ведет себя как парамагнетик, у которого

Электронная прецессия
Вектор индуцированного магнитного момента pm’ одного электрона направлен противоположно вектору В.
Просуммировав выражение (12) по всем электронам, число которых в атоме есть Z (атомный номер химического элемента), получим индуцированный магнитный момент атома

Физическая природа диа- и парамагнетизма

м3/моль, у парамагнетиков χмол≈10-10… 10-9м3/моль (χмол = χ.Vμ

, где Vμ- молярный объем).
Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном в 1905 г. на основе положений статистики Больцмана и ее утверждений о равновероятном распреде-лении магнитных моментов атомов по направлениям (относительно вектора В).
Для парамагнетизма присущ тепловой эффект: с одной стороны, внешнее магнитное поле стремится установить собственные моменты атомов – по полю, а с другой стороны, тепловое движение атомов (молекул) стремится «разбросать» эти моменты равномерно по всем направлениям. Кюри экспе-риментально установил закон: χмол= С/Т, где Т- температура.

Диамагнетизм проявляют только те вещества, у которых атомы не обладают собственным магнитным моментом. Поэтому при помещении диамагнетика во внешнее магнитное поле у каждого атома индуцируется только отрицательный магнитный момент, и вещество в целом приобретает момент, направленный против поля В, т.е. у него χ < 0.

Физическая природа диа- и парамагнетизма

сложная нелинейная зависимость J(H) или В(Н) от намагничивающего внешнего поля.

Еще в 1872 г. русский физик А.Г. Столетов с помощью «баллистического» гальванометра получил основную кривую намагничения для магнитомягкого железа.

Ферромагнетиками называют твердые вещества, которые могут обладать спонтанной (самопроизвольной) намагниченностью, т.е. – намагничены уже при отсутствии внешнего магнитного поля.
Типичные представители ферромагнетиков: железо, кобальт, никель и многие их сплавы.
Ферромагнетики относятся к классу сильномагнитных веществ, для которых χ мол ≥ 1 м3/моль, μ ~ 103…105.

Ферромагнетики

При величине HS достига-ется насыщение в намагни-ченности JS; индукция В имеет линейный участок после HS.

т.е. запаздывание изменения индукции В в веществе по отношению к

изменению напряженности Н внешнего поля (или, как говорят, существует зависимость В от предыстории состояния магнетика)

В виду нелинейной зависимости В(Н) для ферромаг-нетиков нельзя ввести магнитную проницаемость µ как определенную постоянную величину; однако по-прежнему считают µ = В/µ0.Н, т. е. здесь µ = f(H).

Ферромагнетики

Намагничение ненамагниченного образца начинается по основной кривой О1, а затем при периодическом «нагружении» Н идет по замкнутой траектории 1234561 – петле гистерезиса.

магнитомягкие и магнитожесткие. Магнитомягкие материалы отличаются очень узкими петлями гистерезиса

(рис. 1) и большими значениями насыщения JS. Такие материалы не требуют больших энергозатрат на перемагничение, используются, например, в качестве сердечников трансформаторов (железо армко). Магнитожесткие ферромагнетики обладают широкими петлями гистерезиса (рис. 2), соответственно большими значениями коэрцетивной силы Нс и остаточными полями Br. Для них требуется большая работа на перемагничение. Такие свойства используются при создании мощных постоянных магнитов.

Ферромагнетики

- уменьшается, в частности, уменьшается величина JS. При некоторой температуре

– точка Кюри Тс – ферромагнитные свойства у вещества исчезают и ферромагнетик при Т > Тс превращается в парамагнетик, для которого работает закон Кюри-Вейсса:
Так для железа Тс ≈ 1040 К, для кобальта Тс ≈ 1400 К, для никеля Тс ≈ 640 К.

Ферромагнетики

О теории ферромагнетизма
Основы этой теории были заложены в 20-30-х годах 20 в. в работах Я.И. Френкеля и В. Гейзенберга, а затем теория была развита в работах Л.Д. Ландау.
Физическую природу ферромагнетизма удалось понять только с позиций квантовой механики. Причем, как показали эксперименты по изучению магнитомеханических явлений ответственными за магнитные свойства магнетиков являются спиновые (собственные) магнитные моменты электронов.

ферромагнетика могут возникать так называемые обменные силы, которые заставляют магнитные

моменты электронов устанавливаться параллельно друг другу. В результате возникают области (размером ~ 1…10 мкм) спонтанного намагничивания – домены. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и имеет определенный магнитный момент. Но направления этих моментов для разных доменов – различны, поэтому при отсутствии внешнего поля Н суммарный момент образца равен нулю и образец в целом макроскопически ненамагничен.
При включении магнитного поля Н сначала домены, ориентированные по полю, растут за счет доменов, направ-ленных против поля (этот процесс в начальных слабых полях имеет обратимый характер); затем в более сильных полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов всех электронов в пределах всего домена и поворот моментов доменов по полю (уже этот процесс – необратим), что и служит причиной появления гистерезиса и величины Br.

Ферромагнетики

Н

Рm/д