к другой ДПСК с той же ориентацией...
Линии 2-го порядка, заданные
общим уравнениемПреобразование многочлена 2-й степени при замене АСК
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
Содержание
- 1. Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
- 2. Переход от одной АСК к другой Переход
- 3. Переход от одной АСК к другой
- 4. Переход от одной АСК к другойОпр: пусть
- 5. Переход от одной АСК к другойОпр: пусть
- 6. Слайд 6
- 7. O
- 8. O
- 9. O
- 10. O
- 11. O
- 12. Слайд 12
- 13. Матрица, размера 2x2, в которой коэффициенты разложений записаны в столбцы
- 14. Матрица, размера 2x2, в которой коэффициенты разложений записаны в столбцы
- 15. называется матрицей перехода от нового базиса к
- 16. Теорема: о переходе от одного базиса к другому
- 17. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 18. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 19. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 20. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 21. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 22. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 23. Теорема: о переходе от одного базиса к
- 24. O
- 25. O
- 26. O
- 27. O
- 28. ↓
- 29. ↓
- 30. ↓
- 31. ↓
- 32. ↓
- 33. ↓
- 34. ↓
- 35. ↓
- 36. ↓
- 37. ↓ Приравняем координаты
- 38. ↓ Приравняем координаты
- 39. ↓ Приравняем координаты С↑
- 40. Переход от одной ДПСК к другой
- 41. Слайд 41
- 42. xy
- 43. xyO
- 44. xOx’
- 45. xOx’α
- 46. xOx’α
- 47. xOx’αj’i’j
- 48. xOx’αj’i’jM
- 49. xOx’αj’i’jMM(x,y)
- 50. xOx’αj’i’jMM(x,y)
- 51. xOx’αj’i’jMM(x,y)M(x’y’)
- 52. xOx’y’αj’i’jMM(x,y)M(x’y’)
- 53. xOx’αj’i’jMM(x,y)M(x’y’)
- 54. xOx’αj’i’jMi’
- 55. xOx’αj’i’jMi’=(cosα;sinα)
- 56. xOx’αj’i’jMi’=(cosα;sinα)j’=
- 57. xOx’αj’i’jMi’=(cosα;sinα)j’=(cos(α+π/2);sin(α+π/2))
- 58. xOx’αj’i’jMi’=(cosα;sinα)j’=(cos(α+π/2);sin(α+π/2)) =(-sinα;cosα)
- 59. xOx’αj’i’jMi’=(cosα;sinα)j’=(cos(α+π/2);sin(α+π/2)) =(-sinα;cosα)
- 60. i’=(cosα;sinα)j’ =(-sinα;cosα)или
- 61. i’=(cosα;sinα)j’ =(-sinα;cosα)илиi’=i·cosα+j·sinαj’ =-i·sinα+j·cosα
- 62. i’=i·cosα+j·sinαj’ =-i·sinα+j·cosαМатрица перехода
- 63. i’=i·cosα+j·sinαj’ =-i·sinα+j·cosαМатрица переходаЭта матрица называется ортогональной
- 64. i’=i·cosα+j·sinαj’ =-i·sinα+j·cosαМатрица переходаЭта матрица называется ортогональной (сумма
- 65. i’=i·cosα+j·sinαj’ =-i·sinα+j·cosαМатрица переходаЭта матрица называется ортогональной (сумма
- 66. Формулы перехода
- 67. Формулы перехода
- 68. Формулы перехода
- 69. Теорема: о переходе от одной АСК к другой
- 70. Теорема: о переходе от одной АСК к
- 71. Теорема: о переходе от одной АСК к
- 72. Теорема: о переходе от одной АСК к
- 73. Теорема: о переходе от одной АСК к
- 74. Теорема: о переходе от одной АСК к
- 75. ↓
- 76. Слайд 76
- 77. М
- 78. М
- 79. М
- 80. М
- 81. М
- 82. М
- 83. Миспользуя теорему о переходе от одного базиса к другому
- 84. Миспользуя теорему о переходе от одного базиса к другому
- 85. Миспользуя теорему о переходе от одного базиса к другому↑
- 86. Линии 2-го порядка, заданные общим уравнением
- 87. Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- 88. Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
- 89. Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнениюодновременно
- 90. Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнениюодновременноДПСК
- 91. Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й
- 92. Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й
- 93. Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й
- 94. Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й
- 95. Теорема: о том, что всякое уравнение 2-й
- 96. ↓
- 97. ↓
- 98. ↓⎤ а12≠0
- 99. ↓а12≠0 Докажем, что можно повернуть оси xOy
- 100. ↓а12≠0 Докажем, что можно повернуть оси xOy
- 101. M(x;y) в Oxy
- 102. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’
- 103. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’
- 104. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)
- 105. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)
- 106. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)
- 107. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)где
- 108. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)где
- 109. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)где
- 110. M(x;y) в OxyM(x’;y’) в Ox’y’Подставим в (1)где
- 111. По условию
- 112. По условию
- 113. По условию
- 114. По условию
- 115. По условию
- 116. При повороте на угол α из последнего
- 117. При повороте на угол α из последнего
- 118. Слайд 118
- 119. a’11≠0 a’22≠0
- 120. a’11≠0 a’22≠0
- 121. a’11≠0 a’22≠0
- 122. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
- 123. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
- 124. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точказамена
- 125. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точкаЗаменаВ системе координат XO’Y
- 126. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точкаЗаменаВ системе координат XO’Y
- 127. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точкаЗаменаВ системе координат XO’Y где
- 128. a’11≠0 a’22≠0Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точкаЗаменаВ системе координат XO’Y где
- 129. 2.
- 130. 2.
- 131. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 132. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0 пусть a’22=0, a’2≠0
- 133. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0 пусть a’22=0, a’2≠0
- 134. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0 пусть a’22=0, a’2≠0
- 135. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0 пусть a’22=0, a’2≠0
- 136. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 137. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 138. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 139. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 140. 2. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
- 141. 3.
- 142. 3.
- 143. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
- 144. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0 пусть a’22= a’2=0
- 145. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0 пусть a’22= a’2=0
- 146. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0 пусть a’22= a’2=0
- 147. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
- 148. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
- 149. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
- 150. 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
- 151. Теорема 2:Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК определяет одну из следующих девяти линий
- 152. Теорема 2:Общее уравнение (1) линии 2-го порядка,
- 153. Теорема 2:Общее уравнение (1) линии 2-го порядка,
- 154. По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
- 155. По предыдущей теореме, ур (1) может быть
- 156. 1) a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
- 157. a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знакДеля (I) на –D и обозначая
- 158. a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знакДеля (I) на –D и обозначаяПолучим
- 159. a’11 и a’22 одного знака, D противоположный
- 160. 2) a’11 , a’22 и D одного знака,
- 161. 2) a’11 , a’22 и D одного
- 162. 3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
- 163. 3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
- 164. 3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
- 165. 3) a’11 , a’22 одного знака, D=0
- 166. 4) a’11 и a’22 разных знаков, D≠0
- 167. 4) a’11 и a’22 разных знаков, D≠0
- 168. 4) a’11 и a’22 разных знаков, D≠0
- 169. 4) a’11 и a’22 разных знаков, D≠0
- 170. 4) a’11 и a’22 разных знаков, D≠0
- 171. 5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
- 172. 5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
- 173. 5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0
- 174. Слайд 174
- 175. Замена
- 176. Замена p>0 , иначе изменим положительное направление оси Oy на противоположное
- 177. Замена p>0 , иначе изменим положительное направление оси Oy на противоположное
- 178. Слайд 178
- 179. Слайд 179
- 180. или
- 181. или
- 182. или
- 183. Преобразование многочлена 2-й степени при замене АСК
- 184. Слайд 184
- 185. Квадратичная часть
- 186. Квадратичная частьлинейная часть
- 187. обозначимКвадратичная частьлинейная часть
- 188. обозначимКвадратичная частьлинейная часть
- 189. обозначимКвадратичная частьлинейная часть
- 190. обозначимКвадратичная частьлинейная часть
- 191. ОбозначимтогдаКвадратичная частьлинейная часть
- 192. где
- 193. где
- 194. где
- 195. где
- 196. где
- 197. где
- 198. где
- 199. где
- 200. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 201. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 202. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 203. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 204. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 205. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 206. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 207. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 208. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 209. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 210. Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после
- 211. Приведение к каноническому виду квадратичной части уравнения второго порядка
- 212. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 213. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 214. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 215. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 216. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 217. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 218. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 219. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 220. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 221. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 222. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 223. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 224. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 225. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 226. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 227. Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое
- 228. Уравнение det(A-λE)=0 называют характеристическим уравнением для матрицы
- 229. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.
- 230. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 231. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 232. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 233. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 234. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 235. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 236. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического уравнения действительны.↓
- 237. Теорема 2: В двумерном случае корни характеристического
- 238. Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны,
- 239. Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны,
- 240. Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны,
- 241. Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны,
- 242. (*)
- 243. (*)
- 244. (*)
- 245. (*)
- 246. (*)
- 247. (*)
- 248. (*)
- 249. (*)
- 250. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- 251. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе
- 252. Преобразование коэффициентов при параллельном переносеO’x’y’
- 253. Преобразование коэффициентов при параллельном переносеO’x’y’
- 254. Преобразование коэффициентов при параллельном переносеO’x’y’где
- 255. Слайд 255
- 256. Слайд 256
- 257. где
- 258. где
- 259. где
- 260. гдеКоэффициенты квадратичной части не изменяются
- 261. гдеКоэффициенты квадратичной части не изменяютсяНайдём такую ДПСК O’x’y’, чтобы в ур. (1’)
- 262. гдеКоэффициенты квадратичной части не изменяютсяНайдём такую ДПСК O’x’y’, чтобы в ур. (1’)
- 263. Слайд 263
- 264. Уравнение центра кривой 2-го порядка
- 265. Уравнение центра кривой 2-го порядка Центр этой кривой
- 266. Уравнение центра кривой 2-го порядка Центр этой
- 267. Скачать презентанцию
Переход от одной АСК к другой Переход от одной ДПСК к другой ДПСК с той же ориентацией...Линии 2-го порядка, заданные общим уравнениемПреобразование многочлена 2-й степени при замене АСК
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Переход от одной АСК к другой
Переход от одной ДПСК
к другой ДПСК с той же ориентацией...
общим уравнениемПреобразование многочлена 2-й степени при замене АСК
Слайд 15называется матрицей перехода от нового базиса к старому
Матрица, размера 2x2,
в которой коэффициенты
разложений записаны в столбцы
Слайд 17Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости
- другой базис (новый)
Слайд 18Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости
- другой базис (новый)матрица перехода
Слайд 19Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости,
- другой базис (новый),матрица перехода,
Пусть вектор на плоскости
Слайд 20Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости,
- другой базис (новый),матрица перехода,
Пусть вектор на плоскости: координаты в старом базисе ,
Слайд 21Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости,
- другой базис (новый),матрица перехода,
Пусть вектор на плоскости: координаты в старом базисе , координаты в новом базисе
Слайд 22Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости,
- другой базис (новый),матрица перехода,
Пусть вектор на плоскости: координаты в старом базисе , координаты в новом базисе
Тогда новые координаты связаны со старыми с помощью матрицы перехода
Слайд 23Теорема: о переходе от одного базиса к другому
Пусть
- базис на плоскости,
- другой базис (новый),матрица перехода,
Пусть вектор на плоскости: координаты в старом базисе , координаты в новом базисе
Тогда новые координаты связаны со старыми с помощью матрицы перехода
Слайд 64i’=i·cosα+j·sinα
j’ =-i·sinα+j·cosα
Матрица перехода
Эта матрица называется ортогональной (сумма квадратов элементов, расположенных
в каждом столбце равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов
строки равна 0)
Слайд 65i’=i·cosα+j·sinα
j’ =-i·sinα+j·cosα
Матрица перехода
Эта матрица называется ортогональной (сумма квадратов элементов, расположенных
в каждом столбце равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов
строки равна 0)Определитель этой матрицы равен 1
Слайд 70Теорема: о переходе от одной АСК к другой
Пусть
- одна АСК на плоскости,
- другая АСК (новый),
Слайд 71Теорема: о переходе от одной АСК к другой
Пусть
- одна АСК на плоскости,
- другая АСК (новый),Пусть точка М имеет координаты: старые,
новые координаты
Слайд 72Теорема: о переходе от одной АСК к другой
Пусть
- одна АСК на плоскости,
- другая АСК (новый),Пусть точка М имеет координаты: старые,
новые координаты
И пусть координаты в старой АСК
Слайд 73Теорема: о переходе от одной АСК к другой
Пусть
- одна АСК на плоскости,
- другая АСК (новый),Пусть точка М имеет координаты: старые,
новые координаты
И пусть координаты в старой АСК
С - матрица перехода,
Слайд 74Теорема: о переходе от одной АСК к другой
Пусть
- одна АСК на плоскости,
- другая АСК (новый),Пусть точка М имеет координаты: старые,
новые координаты
И пусть координаты в старой АСК
С - матрица перехода,
Тогда новые координаты со старыми связаны следующим образом
Слайд 87Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению
Слайд 88Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению
Слайд 89Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению
одновременно
Слайд 90Опр: Линией (кривой) 2-го порядка называется множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению
одновременно
ДПСК
Слайд 91Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя
неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Слайд 92Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя
неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1)
линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
Слайд 93Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя
неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1)
линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
Слайд 94Теорема1: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя
неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1)
линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
Слайд 95Теорема: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя
неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые
Общее уравнение (1)
линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов
Слайд 99↓
а12≠0
Докажем, что можно повернуть оси xOy на такой угол
α, что в преобразованном уравнении коэффициент при xy обратится в
0
Слайд 100↓
а12≠0
Докажем, что можно повернуть оси xOy на такой угол
α, что в преобразованном уравнении коэффициент при xy обратится в
0
Слайд 116При повороте на угол α из последнего соотношения в преобразованном
уравнении коэффициент a’12 обратится в 0
По условию
Слайд 117При повороте на угол α из последнего соотношения в преобразованном
уравнении коэффициент a’12 обратится в 0
По условию
Слайд 125a’11≠0 a’22≠0
Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала
точка
Замена
В системе координат XO’Y
Слайд 126a’11≠0 a’22≠0
Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала
точка
Замена
В системе координат XO’Y
Слайд 127a’11≠0 a’22≠0
Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала
точка
Замена
В системе координат XO’Y
где
Слайд 128a’11≠0 a’22≠0
Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала
точка
Замена
В системе координат XO’Y
где
Слайд 1362. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
пусть a’22=0, a’2≠0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Слайд 1372. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
пусть a’22=0, a’2≠0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Слайд 1382. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
пусть a’22=0, a’2≠0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
замена
Слайд 1392. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
пусть a’22=0, a’2≠0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
замена
Слайд 1402. Или a’22=0, a’2≠0, или a’11=0, a’1≠0
пусть a’22=0, a’2≠0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
замена
Слайд 1473. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
пусть a’22= a’2=0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Слайд 1483. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
пусть a’22= a’2=0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Замена
Слайд 1493. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
пусть a’22= a’2=0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Замена
где
Слайд 1503. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0
пусть a’22= a’2=0
Перенесём
оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка
Замена
где
↑ 
Слайд 151Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК
определяет одну из следующих девяти линий
Слайд 152Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК
определяет одну из следующих девяти линий
Эллипс
Мнимый эллипс
Две мнимые пересекающиеся прямые
Гипербола
Две
пересекающиеся прямыеПарабола
Две параллельные прямые
Две мнимые параллельные прямые
Две совпадающиеся прямые
Слайд 153Теорема 2:
Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК
определяет одну из следующих девяти линий
Эллипс
Мнимый эллипс
Две мнимые пересекающиеся прямые
Гипербола
Две
пересекающиеся прямыеПарабола
Две параллельные прямые
Две мнимые параллельные прямые
Две совпадающиеся прямые
Слайд 155По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано
Рассмотрим какой вид
могут принять простейшие уравнения в зависимости от знаков коэффициентов
Слайд 159a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак
Деля (I) на
–D и обозначая
Получим
каноническое уравнение эллипса
Слайд 200Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение
Слайд 201Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 202Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 203Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 204Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 205Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 206Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 207Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 208Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 209Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
Слайд 210Утв: Квадратичная часть, имеющая матрицу А, после выполнения линейного преобразования
неизвестных с матрицей С, превращается в квадратичную часть многочлена от
новых неизвестных, причём матрицей служит произведение↓
где
Слайд 212Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0
Слайд 213Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒
Слайд 214Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏
Слайд 215Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏ det(A-λE)≠0
Слайд 216Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение
Слайд 217Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы,
Слайд 218Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !.
Слайд 219Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0↓ ⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
Слайд 220Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
⇐
Слайд 221Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
⇐ det(A-λE)=0
Слайд 222Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
⇐ det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Слайд 223Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Имеем одно уравнение
Слайд 224Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Имеем одно уравнение
Слайд 225Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Имеем одно уравнение
Слайд 226Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Имеем одно уравнение
Слайд 227Теорема 1: Система уравнений (A-λE)f=0 имеет ненулевое решение
тогда и только тогда когда λ является
корнем уравнения det(A-λE)=0⇒∏ det(A-λE)≠0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие
det(A-λE)=0 ⇒ строки A-λE линейно зависимы
Имеем одно уравнение
↑
Слайд 228Уравнение det(A-λE)=0 называют характеристическим уравнением для матрицы А, его корни
λ - собственными значениями матрицы А, а ненулевые решения f
- собственными векторами матрицы А
Слайд 238Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные
векторы ортогональны и если их поделить на их длины они
будут образовывать ортонормированный базис в котором матрица А’ имеет диагональный вид.
Слайд 239Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные
векторы ортогональны и если их поделить на их длины они
будут образовывать ортонормированный базис в котором матрица А’ имеет диагональный вид.↓
Слайд 240Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные
векторы ортогональны и если их поделить на их длины они
будут образовывать ортонормированный базис в котором матрица А’ имеет диагональный вид.↓
Слайд 241Теорема 3: Если корни характеристического уравнения различны, то соответствующие собственные
векторы ортогональны и если их поделить на их длины они
будут образовывать ортонормированный базис в котором матрица А’ имеет диагональный вид.↓
(*)
Слайд 266Уравнение центра кривой 2-го порядка
Центр этой кривой
Следствие: Если матрица
квадратичной части невырождена, то кривая имеет центр симметрии, причём единственный
