Математические модели физических процессов и объектов Объекты на микро..макро и

и гидравлические системы

(объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных

уравнений в частных производных.
При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений окружающего нас мира.
Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через поверхность элементарного объема.
Субстанцией служат масса, количество движения, энергия.
Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др.

моделей, будет следующим:
где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию

(плотность, энергию и т. п.);
J – поток фазовой переменной;
G – скорость генерации субстанции;
t – время.

div F -дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
точка поля является источником точка поля является стоком стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

КР

любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное

поле скорости.
Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке:

Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности.
При одномерном исполнении

КР

со свойствами среды описывается с помощью уравнения теплопроводности.
Это уравнение

вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стока теплоты и изменения теплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме:

где Q – количество теплоты;
– вектор плотности теплового потока;
GQ – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме.

КР

объема записывается в виде
где ρ – объемная плотность электрических зарядов;

– вектор плотности тока проводимости и смещения.

КР

распределенных параметров к сосредоточенным – выделяются крупные элементы объектов и

их параметры сосредоточиваются в одной точке: масса балки оказывается сосредоточенной в центре тяжести, поле потенциалов характеризуется величиной одного напряжения, поток электронов моделируется электрическим током и т. п.

Поведение (состояние) моделируемых объектов, состоящих из физически однородных элементов, в которых описываются процессы определенной физической природы (механические, электрические, гидравлические, тепловые), можно характеризовать с помощью фазовых переменных двух типов – типа потенциала и типа потока.

элементов:
типа R – элемент рассеивания (диссипации) энергии (как правило, преобразования

энергии в тепловую и ее рассеивания);
типа C и типа L – элементы накопления потенциальной и кинетической энергии.
Кроме пассивных элементов, существуют два активных элемента – источник напряжения и источник тока.

Уравнения, описывающие свойства элементов объекта, называют компонентными. В них входят переменные типа потенциала и типа потока.
Способ связи элементов отражается с помощью других уравнений, которые называют топологическими. В них входят переменные одного типа: либо потенциала, либо потока.
Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия непрерывности, равновесия, баланса и т. п.
Математические модели объектов есть совокупность компонентных и топологических уравнений.

КР

токи в различных элементах систем. Компонентные уравнения элементов имеют вид

где U – напряжение;
I – ток;
R – сопротивление;
C – емкость;
L – индуктивность.

При соединении резисторов, емкостей, индуктивностей между собой образуется схема, соединение элементов в которой отражается топологическими уравнениями. Ими являются законы Кирхгофа

КР

U

уравнения получим систему дифуравнений-
математическую модель

потери механической энергии на разные виды трения;
элементы масс, отражающие свойства

инерционности;
элементы гибкости, отражающие свойства упругости.
Роль фазовых переменных в механических системах выполняют либо силы и скорости, либо силы и перемещения.
Компонентные уравнения имеют вид

где V – скорость;
F – сила;
R – коэффициент, учитывающий зависимость силы трения от скорости;
m – масса-аналог электрической емкости;
Lm – гибкость – параметр, являющийся аналогом электрической индуктивности.

вязкого трения .



Второе выражение является вторым законом Ньютона.




Третье

выражение получено из уравнения перемещения пружины x под действием силы F = kx, где k – коэффициент жесткости пружины.

Топологические уравнения механической системы выражают уравнение равновесия сил, являющееся аналогом первого закона Кирхгофа, и уравнение сложения скоростей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю (аналог второго закона Кирхгофа).

КР

аналогия с механическими поступательными системами.
Поступательной скорости V соответствует угловая

скорость Ω,
силе F – вращательный момент M.
Аналогиями параметров m, Lm и R будут соответственно: J – момент инерции относительно оси вращения со скоростью Ω; Lвр – вращательная гибкость; Rвр – сопротивление вращению.
Компонентные уравнения механической вращательной системы имеют вид

Топологические уравнения механической вращательной системы выражают закон равенства суммы моментов сил и закон сложения скоростей вокруг оси вращения:

КР

поток жидкости (расход) q и давление p – аналоги электрического

тока и напряжения соответственно.
Компонентные уравнения участков трубопровода и резервуаров гидросистемы связывают фазовые переменные при ламинарном и турбулентном движении жидкости.
Топологические уравнения гидравлической системы близки по своему смыслу и идентичны по форме топологическим уравнениям электрических систем, а именно сумма потоков в любом узле системы и сумма давлений вдоль любого контура системы равны нулю.
Фазовые переменные пневматических систем – потоки газа и давления – аналогичны по смыслу фазовым переменным гидравлических систем. Также одинаковы в гидравлических и пневматических системах компонентные и топологические уравнения.

КР

T и тепловой поток gт.
Одно компонентное уравнение тепловой системы связывает

разность температур на участке элемента и тепловой поток через тепловое сопротивление Rт, которое определяется теплоотдачей посредством теплопроводности, конвекции и лучеиспускания, другое уравнение через теплоемкость Cт связывает тепловой поток и температуру элемента системы.
Уравнения с понятием «тепловой гибкости» в тепловых системах нет.
Топологические уравнения для сумм тепловых потоков и разностей температур тепловых систем также аналогичны законам Кирхгофа в электрических системах.

Уравнение теплообмена - Q = m1c1(t'1 - t"1)η = m2c2(t"2 - t'2),
где m1, m2  - расходы горячего и холодного теплоносителей, кг/с;
c1, c2 - их средние, массовые, изобарные теплоемкости, кДж/(кгК);
h - КПД теплообменника; индексы: 1, 2 -  горячий и холодный теплоносители;
’ , ” – индексы входной и выходной температур  теплоносителей.

КР

объекта в пространстве. Переход на макроуровень характеризуется дискретизацией пространства –

параметры объекта считаются сосредоточенными в отдельных точках пространства

Существует несколько способов построения математических моделей на метауровне, к ним относятся:

1) дискретизация времени, т. е. наряду с введением сосредоточенных параметров переменные и параметры модели считаются независящими непрерывно от времени;
2) потери энергии в объекте не учитываются;
3) переход к факторным моделям;
4) переход к функциональным моделям, в которых используется только один вид фазовой переменной – сигнал;
5) эквивалентирование – замена больших систем их упрощенными моделями – эквивалентами, созданными на основе специальных критериев, и др.

энергосистеме (ЕЭС) России можно с помощью модели, которая может обозримо

представить все составные части этого большого и сложного объекта с учетом пропускной способности межу объединениями энергосистем (ОЭС). На рис.показаны связи между отдельными ОЭС, входящими в ЕЭС России. Параметрами такой модели могут служить значения пропускной способности связей, мощности отдельных ОЭС и «коэффициенты жесткости» (отношения предела статической устойчивости связи к меньшей мощности из соединяемых частей ОЭС). В такой модели параметры и переменные могут считаться неизменными на длительных интервалах времени и потери электрической энергии не учитываются.