Математика ППИ. Лекция № 14

Содержание

1. Математика ППИ. Лекция № 14
2. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 1. Производная интеграла
3. ЛИТЕРАТУРА[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.
4. УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.
5. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-ЛейбницаПусть
6. Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
7. Доказательство. Дадим аргументу x приращение Δx. Тогда приращение функции Ф(x) будет
8. К последнему интегралу применим теорему о среднем
9. Но так как Δx→0, то x+Δ x→x,
10. Формула Ньютона – Лейбница Теорема. Если функция
11. Слайд 11
12. Доказательство: Возьмем функцию Эта функция является первообразной
13. При x=a получим ,Так как
14. Пример 1. Вычислить интегралРешение.
15. Пример 2. Вычислить интегралРешение.
16. Пример 3. Вычислить интегралРешение.
17. УЧЕБНЫЙ ВОПРОС. Вычисление определённого интеграла заменой переменной и по частям.
18. Теорема. Пусть дан интеграл
19. Пример. Вычислить интегралРешение. Воспользуемся универсальной тригонометрической
20. 1) при вычислении определенного интеграла методом замены
21. Метод интегрирования по частям.Если функция u=u(x) и
22. Скачать презентанцию

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 1. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.2. Вычисление определённого интеграла заменой переменной и по частям.

Главная
Разное
Математика ППИ. Лекция № 14

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Математика ППИ. Лекция № 14.

Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла.

Слайд 2 ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ
1. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.
2. Вычисление

определённого интеграла заменой переменной и по частям.

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 1. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.2. Вычисление определённого интеграла заменой переменной

Слайд 3ЛИТЕРАТУРА
[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва:

Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс

высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 253-266;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей математики IV. Челябинск: Челябинский военный авиационный краснознамённый институт штурманов, 2002 г.с. 68-80.

ЛИТЕРАТУРА[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375;[3] Б.П. Демидович, В.А.

Слайд 4

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.

Слайд 5Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница
Пусть y=f(x) – функция

непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема на этом отрезке

и более того, она интегрируема на любом отрезке [a,x], где x∈[a,b] .
Пусть нижний предел интегрирования a закреплен, а верхний предел интегрирования b – меняется.
Рассмотрим функцию

(1)

- интеграл с переменным верхним пределом.

Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-ЛейбницаПусть y=f(x) – функция непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема

Слайд 6Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция

непрерывна и имеет производную на отрезке [a,b]

Слайд 7Доказательство. Дадим аргументу x приращение Δx.

Тогда приращение функции Ф(x)

будет

Слайд 8К последнему интегралу применим теорему о среднем значении функции на

отрезке [x, x+∆x], получим:

то есть
Согласно определению производной

К последнему интегралу применим теорему о среднем значении функции на отрезке [x, x+∆x], получим: то естьСогласно определению

Слайд 9Но так как Δx→0, то x+Δ x→x, следовательно, и ξ→x.

Согласно

условию, подынтегральная функция f(t) непрерывна в точке x.
Поэтому

Таким образом,

что

и требовалось доказать.

Но так как Δx→0, то x+Δ x→x, следовательно, и ξ→x.Согласно условию, подынтегральная функция f(t) непрерывна в точке

Слайд 10Формула Ньютона – Лейбница
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке

[a,b] и F(x) –ее первообразная на [a,b], тогда:

или (2)

Формула Ньютона – Лейбница Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –ее первообразная на

Слайд 11

Слайд 12Доказательство: Возьмем функцию

Эта функция является первообразной для функции f(x)

на отрезке [a,b], а любые две первообразные для одной и

той же функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то есть существует постоянная С такая, что

для всех

Доказательство: Возьмем функцию Эта функция является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b], а любые две первообразные

Слайд 13При x=a получим ,

Так как

то

Следовательно,

Положив

x=b, получим доказываемую формулу

(3)

Слайд 14Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

Слайд 15Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

Слайд 16Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

Слайд 17

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Вычисление определённого интеграла заменой переменной и по частям.

Слайд 18Теорема. Пусть дан интеграл

где функция f(x) непрерывна

на отрезке [a;b].
Введем новую переменную t по формуле x=φ(t).
Если : 1) функция x=φ(t) и ее производная x′=φ′(t) непрерывны на отрезке [α;β] ;
2) φ(α)=a, φ(β)=b;
3) функция f(φ(t)) определенна и непрерывна на [α;β], тогда

Интегрирование заменой переменной.

Слайд 19Пример. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической

Слайд 201) при вычислении определенного интеграла методом замены переменной (методом подстановки)

возвращаться к первоначальной переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки x=φ(t)

, применяют подстановку t=g(x);

3) необходимо менять пределы интегрирования при замене переменной.

1) при вычислении определенного интеграла методом замены переменной (методом подстановки) возвращаться к первоначальной переменной не требуется;2) часто

Слайд 21Метод интегрирования по частям.
Если функция u=u(x) и υ= υ (x)

имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула

Метод интегрирования по частям.Если функция u=u(x) и υ= υ (x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то

Скачать презентацию

Разделы презентаций