Мир невозможных фигур

Невозможное возможно

достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело

и надежно использовано на практике без помощи вмешательства математики… Ф.Бэкон

как получаются несуществующие объекты.
2. Показать роль и значение невозможных фигур.

1.Изучить литературу по теме «Невозможные фигуры».
2.Определить области существования невозможных фигур.
3.Составить каталог невозможных фигур.
4.Рассмотреть способы построения невозможных фигур.

или иного рода. Достаточно вспомнить мираж в пустыне, иллюзии создаваемые

светом и тенью, а также относительным движением. Широко известен следующий пример: луна, поднимающаяся из-за горизонта, кажется гораздо больше, чем высоко в небе. Все это – лишь несколько любопытных явлений, которые встречаются в природе. Когда эти явления, обманывающие зрение и ум, были впервые замечены, они стали волновать воображения людей.

С давних времен оптические иллюзии использовались, чтобы усилить воздействие произведений искусства или улучшить внешний вид архитектурных творений. Древние греки прибегали к оптическим иллюзиям, чтобы довести до совершенства внешний вид своих великих храмов. В эпоху Средневековья смещенную перспективу иногда использовали в живописи. Позднее многие другие иллюзии использовались в графике. Среди них единственный в своем роде и относительно новый вид оптической иллюзии известен как "невозможные объекты".

давнишних и известных оптических иллюзий. К этой группе принадлежит куб

Неккера (1832), а в 1895 году Арманд Тьерри (Armand Thiery) опубликовал статью об особом виде невозможных фигур. Объект состоит из пяти одинаковых ромбов с углами 60 и 120 градусов. На рисунке можно увидеть два куба, соединенные по одной поверхности. Если вести взгляд снизу вверх, отчетливо виден нижний куб с двумя стенками вверху, а если вести взгляд сверху вниз - верхний куб со стенками внизу.

куб Неккера (1832)

это, по-видимому, иллюзия "пирамида-проем", представляющая собой правильный ромб с линией

посередине. Нельзя сказать точно, что мы видим - пирамиду, возвышающуюся над поверхностью, или проем (впадину) на ней.

пирамиды)" 2003 года. Картина получила диплом на международной математической конференции

и выставке в Будапеште в 2003 году "Ars(Dis)Symmetrica'03". В работе использованы сочетания иллюзии восприятия глубины и невозможных фигур.

фигура - это выполненный на бумаге трехмерный объект, который не

может существовать в действительности, но который, однако, можно видеть как двухмерное изображение».
(из книги Оскара Рейтесвэрда «Невозможные фигуры»)

выдающимся учёным Роджером Пенроузом.
Роджер Пенроуз — выдающийся учёный современности,

активно работающий в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории;

1958 г

трезубец («чертова вилка»).

Если закрыть

рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.

Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект  – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней.

для своей картины невозможного слона.

Шигео Фукуда (Shigeo Fukuda) в 1985 нарисовал невозможную колоннаду.

Эшер - нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями,

гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.

рисунке сфотографирована конструкция невозможного ящика.

художником Уолтером Виком (Walter Wick). Невозможная собачья конура основана на

фигуре невозможного ящика, однако, конструкция
реальной фигуры значительно отличается от конструкции невозможного ящика Джерри Андруса

трегольника, нарисованного Пенроузом (Пенроузы отослали копию статьи Эшеру) создал знаменитую

литографию "Водопад" ("Waterfall").

«Водопад». 1961год.

встречалось еще в древние времена до появления классической перспективы. Художники

пытались найти новые решения. Примером может служить датируемое XV веком изображение Благовещения на фреске собора Св. Марии в голландском городе Бреда. На картине изображен архангел Гавриил, приносящий Марии весть о ее будущем Сыне. Фреска обрамлена двумя арками, поддерживаемыми, в свою очередь тремя колоннами. Однако следует обратить внимание на среднюю колонну. В отличие от других, она исчезает на заднем плане за плитой. С практической точки зрения, художник использовал эту "невозможность" как особую технику, позволяющую избежать разделения сцены на две половины.

 
Мадонна с младенцем.

нарисовал рекламную картину «Apolinere enameled» (1916-1917), хранящуюся в Филадельфийском музее

искусства. В конструкции кровати на полотне можно разглядеть невозможные трех- и четырехугольники

 
«Apolinere enameled». 1916-1917 год.

лестницы» (1950). Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх

или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам в самом деле пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом! С тех пор как Пенроузы опубликовали эту фигуру, она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. "Бесконечную лестницу" можно встретить в книгах об играх, головоломках, иллюзиях, в учебниках по психологии и другим предметам.

 
Бесконечная лестница. 1950 год.

"Бесконечной лестницей" с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер,

на этот раз в своей чарующей литографии "Восхождение и нисхождение", созданной в 1960 году. В этом рисунке, отражающем все возможности фигуры Пенроуза, вполне узнаваемая "Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи в капюшонах непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз. Соответственно, "Бесконечная лестница" стала чаще ассоциироваться с Эшером, перерисовавшим ее, чем с Пенроузами, которые ее придумали.На полотне изображены два ряда человечков: при движении по часовой стрелке человечки постоянно поднимаются, а при движении против часовой стрелки спускаются.

сможете с уверенностью сказать, соединены ли они между собой или

нет. Мы сталкиваемся с тем, что не можем воспринять эту фигуру как что-то целое. Наш взгляд перепрыгивает с одного элемента на другой.

и почему её относят к искусству имп-арта?
Оскар Рутесвард рассказывает в

книге "Omojliga figurer" (есть русский перевод) об использовании рисунков имп-арта для психотерапии. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога. Вспоминая, сколько времени приходится ждать приема в различного рода российских бюрократических и иных заведениях, можно предположить, что невозможные картины на стенах приемных могут скрашивать время ожидания, успокаивая посетителей и тем самым снижая социальную агрессию. Другим вариантом была бы установка в приемных игровых автоматов или, к примеру, манекенов с соответствующими физиономиями в качестве мишеней для дартса, но, к сожалению, подобного рода новации в России никогда не поощрялись.

контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество

зубцов фигуры в верхней и нижней части рисунка, из-за возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то это парадокс был бы менее ярко выражен.

и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение не

только с точки зрения геометрии, но и с точки зрения искусства.

Impossible Constructor .
Программа предназначена для создания изображений невозможных фигур из

элементарных треугольников путем складывания мозаики. Комбинируя треугольники, можно получить большое количество невозможных фигур. Программа имеет простой и понятный интерфейс.

основе ее лежит та же идея, что и у программы

Illusionarium, но в отличие от последней Impossible Constructor предоставляет полный набор из 64 кубиков, а также имеет более удачный интерфейс.

математикой в путь» М: «Педагогика», 1987
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://www.impworld.narod.ru/.
http://www.simplex.t.u-tokyo.ac.jp/~sugihara/hobby/hobbye.html