Многогранники Геометрия 10 - 11 класс Подготовила Степакова Надежда Васильевна–

математики ГАУ СПО БТЭиР

гранями многогранника

стороны многоугольника –
ребрами многогранника

вершины многоугольника –

вершинами многогранника. 

вершина проектируется
в центр основания
 
Пирамида - это многогранник

– это многогранник

Свойства параллелепипеда: 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3

ребра.

тетраэдр-огонь

Тетраэдр символизировал огонь,
т.к. его вершина устремлена вверх

самый «устойчивый»
( от греческого ,,гекса” - шесть и

,,hedra” - грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.
Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”.

имеет 8 граней (треугольных),
в каждой вершине сходятся 4 ребра.
Октаэдр

символизировал воздух,
как самый "воздушный"

eikosi - двадцать и hedra - грань)
имеет 20 граней

(треугольных),
в каждой вершине сходится 5 рёбер

главным
(от греческого dodeka - двенадцать и hedra - грань) имеет

12 граней (пятиугольных),
в каждой вершине сходятся 3 ребра.

СС1|| DD1 – боковые ребра
Все грани параллелограммы.
AA1B1B; BB1C1C; CC1D1D;

AA1D1D – боковые грани
DB1 – диагональ

Свойства.
1. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

А

В

С

D

А1

В1

С1

D1

вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 270°.

вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой

вершине равна 324°.

вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 240°.

(? – уточните!) осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

оси симметрии и
6 плоскостей симметрии.

прямоугольниками.
А
В
С
D
A1
B1
С1
D1
a
b
c

длина, b – ширина,
с – высота, d – диагональ
d
d2

= a2 + b2 + c2

плоскостях, боковые грани – параллелограммы.
Наклонная – боковые грани –

параллелограммы.

H

H1

A

k

F

M

N

P

D

HH1 – высота призмы
AH (k) – боковое ребро призмы
FMNPD – сечение, перпендикулярное боковому ребру

квадраты
H

треугольников (боковые грани), имеющих общую вершину (Р).
Р
А1
А2
А3
Аn
H
РА1; РА2; РА3;

... ; РАn – боковые ребра
А1А2; ... ;А1Аn – ребра основания
РH – высота пирамиды - h

h

основания;
боковые ребра – равны;
боковые грани – равные равнобедренные

треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

высота,

h – апофема

A
O
B
C
h
H
S
D
a

BC = CD = DA = a (в основании –

квадрат)

H

h

a

a

A

B

D

O

P

К

К – середина DC

C

а – сторона основания

PB1B2…Bn – пирамида
Усеченная пирамида
β
α
P
A1
A2
A3
An
B1
B3
Bn
B2
O
O1
H
B1B2…Bn – верхнее основание
A1A2…An –

нижнее снование
A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 – боковые грани – трапеции
A1B1; A2B2; …; AnBn – боковые ребра
OO1= H – высота

собой равнобокие трапеции.
Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонние
OO1 =

H – высота
КК1 = h – апофема

A

C

A1

B1

C1

O1

O

H

K1

K

h

B

a

b

собой равнобокие трапеции.

ABCD и A1B1C1D1 – квадраты
OO1 = H –

высота
KK1 = h – апофема

A1

A

B

C

D

B1

C1

D1

O

O1

H

K

K1

h

a

b

многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519)

например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.
 

художник Эшер

факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе

всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.
    Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство.
  Многогранники в архитектуре

как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего

Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

 ЦАРСКАЯ ГРОБНИЦА

основании из
массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в

    ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

тетраэдра.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты

также являются тетраэдрами.

Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан  горит бесцветным пламенем.
С воздухом образует взрывоопасные смеси.
Используется как топливо.

Сфалерит - сульфид цинка (ZnS).
Кристаллы этого минерала имеют форму тетраэдров, реже –  ромбододекаэдров.

кристаллические решётки
многих металлов (Li, Na, Cr, Pb,

Al, Au, и другие)

Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Маурица Эшера,
относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства».

Леонардо да Винчи – метод жестких ребер

формула которого    K(AL(SO4)2) * 12H2O.
Они применяются для протравливания тканей, выделки кожи.

Одним из состояний полимерной молекулы углерода, наряду с графитом, является алмаз Алмазы обычно имеют октаэдр в качестве формы огранки.
Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму огранки октаэдра, ромбододекаэдра, реже — куба или тетраэдра.

только в клетках человека и приматов.
В книге Дана Уинтера

«Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками,

называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами
многогранника, а концы ребер — вершинами
многогранника. По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники и т. д.