Модель факторного анализа

из матрицы данных X, и рассмотрим несколько признаков. Наличие корреляции

между ними можно понимать двояко: либо один из них определяет остальные, либо существует некоторый скрытый признак, не включенный в матрицу данных, оказывающий влияние на коррелированные признаки. Такие скрытые признаки называют общими факторами.

Основное предположение факторного анализа состоит в следующем: признаки из матрицы данных можно описать посредством небольшого числа общих факторов. Другими словами, сложные взаимосвязи между признаками определяются относительно более простой, скрытой за внешними проявлениями, структурой, отражающей наиболее характерные и часто повторяющиеся взаимосвязи

Следовательно, предполагается, что каждый признак

является функцией небольшого числа общих факторов

и характерного фактора

,то есть

где каждый из общих факторов

оказывает влияние на все признаки

а характерный фактор

влияет только на признак

Характерный фактор выражает специфичность признака, которая не зависит от общих факторов и не выражается через них.

В различных факторных моделях по-разному объясняется специфичность и накладываются различные ограничения на общие факторы.

корреляций признаков меньшей матрицей факторных нагрузок или как задача аппроксимации

матрицы исходных данных матрицей значений факторов на объектах. При таком подходе появляется возможность оценить как точность получаемого описания исходных данных, так и выигрыш, полученный при сжатии описания.

Предполагается, что факторная модель является линейной, т.е.

,где

- исходный j-й признак, измеренный на N объектах;

- скрытый k-й фактор, принимающий значения на N объектах;

- характерный фактор;

- факторные нагрузки, характеризующие влияние k-го фактора на j-й признак,

составляющие матрицу

где n- число исходных признаков m- число общих факторов,

.

Такую систему линейных уравнений называют факторным отображением, а факторные нагрузки - его элементами.

i-ом объекте, т.е.

Рассмотрим психологический эксперимент, состоящий в выполнении

испытуемыми ряда тестов. Тогда совокупность тестов образует совокупность исходных признаков. Значениями таких признаков на объектах являются оценки, получаемые испытуемыми за выполнение тестов. Рабочая гипотеза состоит в том, что индивидуальная оценка теста определяется:

а) способностями, необходимыми для его выполнения;

б) степенью выраженности этих способностей у данных испытуемых.

Если предположить, что способности - это общие некоррелированные факторы, то линейная модель интерпретируется следующим образом. Согласно формуле,

- оценка человека

при выполнении теста j;

- степень выраженности у человека

способности k (значение k-го фактора на i объекте);

- степень проявления k способности в j-ом тесте (нагрузка k-го фактора в j тесте).

Если предположить, что k способность является решающей при выполнении j теста, то нагрузка

будет положительной и высокой.

Если одновременно человек

в достаточной степени наделен этой способностью,

то значение

будет также положительным и большим, а произведение

внесет существенный вклад

в хорошую оценку выполнения теста.

Если предположить, что k способность совершенно не нужна при выполнении теста, то нагрузка

будет нулевой.

Если даже человек i щедро одарен этой способностью (значение

положительно и велико), произведение

будет нулевым. Это означает, что для данного человека и данного теста эта способность не влияет на оценку теста.

Тем не менее, такая модель экономична и часто является хорошим

первым приближением реальных процессов.

Рассмотрим снова факторное отображение

и вычислим корреляции признака

с факторами

и

Получим:

Такая система равенств называется факторной структурой, а ее левые части

- ее элементами. Если общие факторы не коррелируют между собой

и с характерными факторами

, то элементы факторной структуры совпадают с элементами факторного отображения

Выразим структуру дисперсии признака через элементы факторного отображения в предположении, что все факторы и признаки

стандартизированы:

факторами, то

Величина

- доля дисперсии признака, приходящаяся на m общих

факторов, называется общностью. Величина

определяет вклад характерного фактора в дисперсию признака и называется характерностью.

общих факторов,

матрица значений характерных факторов,

- матрица факторных нагрузок

диагональная матрица нагрузок характерных факторов.

Пусть X, F, Z - стандартизованные матрицы. Тогда линейная факторная модель запишется в виде системы уравнений

вводя ранее линейную факторную модель, мы показали, что факторная структура

совпадает с факторным отображением, а дисперсии признаков выражаются через общности и характерности лишь в предположении, что являются некоррелированными как общие факторы между собой, так и общие и характерные факторы друг с другом. В этом случае матрица факторных нагрузок A вычисляется как матрица взаимных корреляций исходных признаков и общих факторов:

Вычислим корреляционную матрицу

на основе данного разложения корреляционной матрицы R. Заметим, что пока

мы не делали никаких предположений о коррелированности характерных факторов между собой. Поэтому в общем случае

является корреляционной матрицей с ненулевыми недиагональными элементами. Так как матрица D является диагональной, то

,а диагональные элементы матриц

и

совпадают. Тогда:

называется редуцированной корреляционной матрицей.

Так как диагональные элементы матрицы

равны нулю, то полный вклад всех факторов в дисперсии всех признаков составляет величину

неизвестными являются матрицы A, D, Z. Если число общих факторов

не известно, то можно решать задачу факторного анализа как поиск матрицы A с одновременным поиском набора минимальных в некотором смысле характерностей с целью максимизации доли объясняемой общими факторами дисперсии признаков. Из такой постановки с необходимостью следует коррелированность характерных факторов между собой.
С другой стороны, предположение о некоррелированности характерных факторов между собой приводит к более простому разложению

и к необходимости предварительного задания характерностей. В этом случае определение характерностей является самостоятельной задачей. Исторически более ранней является именно такая постановка.
Рассмотрим матрицу

размером

линейных комбинаций общих факторов и назовем ее матрицей

вычисленных признаков.

Так как матрица Y не стандартизована, то вычислим ковариационную матрицу

Следовательно, дисперсии вычисленных признаков совпадают с общностями исходных признаков

так как на диагонали редуцированной матрицы

стоят общности исходных признаков.

Рассмотрим взаимные ковариации вычисленных и исходных признаков

Тогда

,откуда

и

их коэффициента корреляции и совпадает с общностью исходного признака. В

свою очередь, взаимные ковариации вычисленных признаков и факторов составляют матрицу

есть

Иначе, такая матрица называется матрицей вращения. Тогда

является новой

системой факторов, повернутой относительно старой системы F на некоторый угол с неизменным масштабом.
Рассмотрим вычисленные признаки

Тогда в новой системе координат им будет соответствовать новая матрица факторных нагрузок

и тогда

Из условия

получим

откуда

или

Как известно, ковариационная матрица вычисленных признаков есть

Тогда в новом базисе мы должны получить то же самое

Следовательно,

, где

- редуцированная корреляционная матрица.

Таким образом, матрица факторных нагрузок может быть определена только с точностью до ортогонального преобразования. Геометрически это означает, что существует множество систем координат общих факторов. В связи с этим, в факторном анализе дополнительно возникает так называемая проблема вращения факторов. Поиск решения данной проблемы также представляет собой самостоятельную задачу, как, например, задача определения характерностей.