Нечеткие множества

1921) — математик, основатель теории нечётких множеств и нечёткой логики.

Родился в Баку, с 1932 года жил в Иране, учился в Alborz High School и Тегеранском университете; с 1944 в Соединенных Штатах; с 1959 работает в Калифорнийском университете (Беркли).
В 1965 опубликовал основополагающую работу по теории нечётких множеств, в которой изложил математический аппарат теории нечётких множеств; в 1973 предложил теорию нечёткой логики; позднее — теорию мягких вычислений (soft computing); а также — теорию вербальных вычислений и представлений (computing with words and perceptions).

множество, счетное или нет, и x — элемент Е. Тогда

нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар
{(x| A(x))},  x  Е,
где A(x) — степень принадлежности x в А. Таким образом, если A(x) принимает свои значения во множестве М значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что x принимает значение в М посредством функции A(x). Эта функция также называется функцией принадлежности.
(Определение Л. Заде)

или нет, и x — элемент Е. Тогда нечеткое подмножество

А множества Е определяется как множество упорядоченных пар
{(x| A(x))},  x  Е,
где A(x) — характеристическая функция принадлежности x в А, принимающая свои значения во вполне упорядоченном множестве М, которая указывает степень или уровень принадлежности элемента x подмножеству А. Множество М будет называться множеством принадлежностей.

функция принадлежности — это некоторое «невероятностное субъективное измерение неточности», и

что она отлична от плотности вероятности и от функции распределения вероятности.
В работе Заде «Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений» под значением функции принадлежности µА(u) нечеткого множества А для любого u  U понимается вероятность того, что ЛПР отнесет элемент u к множеству А. В случае, когда А – некоторое понятие естественного языка, а U – множество объектов, обозначаемых этим понятием А, µА(u) – есть вероятность того, что лицо, принимающее решение, использует А в качестве имени объекта.
Такая интерпретация функции принадлежности называется вероятностной и не исключает существование других интерпретаций. Однако
− элемент u, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а последний и решает задачу отнесения элемента к нечеткому множеству А;
− в приведенной интерпретации µА(u) не является ни функцией распределения вероятности, ни плотностью распределения вероятности

полезность,
истинность,
правдоподобность,
значение функции
и др.

экспертов, каждый определяет парные соотношения, из них определяется экспертная оценка

степени принадлежности, оценки усредняются по экспертам
на основе стандартного набора графиков, выбранный график ЛПР корректирует

m(x) = (x – a)/(b – a), при a < x

(c – x)/(c – b), при b < x <=c;
m(x) = 0, при с < x.
Трапециевидные
m(x) = 0, при x m(x) = (x – a)/(b – a), при a < x <=b;
m(x)= 1, при b < x <=c;
m(x) = (d – x)/(d – c), при c < x <=d;
m(x) = 0, при d < x.

0.5(x  c)^2/s^2).
Колоколообразные функции принадлежности задаются параметрами (a,b,c):
m(x)

= 1/(1+((x  c)/a)^(2b))

множества А называется обычное подмножество таких точек Е, для

которых величина A(x) положительна. Носитель обозначается S(A) или Supp A: S(A) = {x| x  Е, A(x) > 0}
Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup A(x)  по всем x  Е
Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально.
Элементы множества Е, для которых степень принадлежности A(x) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества

A и B — нечеткие подмножества. Будем говорить, что A

содержится в B, и обозначать A  B, если  x Е, A(x)  B(x)
Равенство. A и B равны (A = B), если  x Е, A(x) = B(x)

является обычное множество А всех таких элементов универсального множества

Е, степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна :
A = {x | x Е, A(x)   }.
Множество  -уровня называют иногда сечением  нечеткого множества А. Причем, если A(x)   , то говорят о сильном сечении, если A(x)  > , то о слабом сечении.
Нечеткое множество А можно разложить по его множествам уровня следующим образом:

где  A — произведение числа  на множество A. Знак  — знак объединения множеств A по  .

Сечения нечеткого множества

А и B с функциями принадлежности определена как максимум из

двух индивидуальных функций принадлежности. Это называется критерием максимума.
Объединением нечетких множеств А и В в Е называют наименьшее нечеткое подмножество A Y В, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности вида: A Y B (x) = max(A(x), B(x)),  x E

функциями принадлежности и определена как минимум из двух индивидуальных функций

принадлежности. Это называется критерием минимума.
Пересечением нечетких множеств А и В в Е называют наибольшее нечеткое подмножество А I В, содержащееся одновременно в А и В, с функцией принадлежности вида: A I B (x) = min(A(x), B(x)),  x E

как отрицание данной функции членства. Это называется критерием отрицания
Дополнением

нечеткого множества А называют нечеткое множество A с функцией принадлежности:  A (x) = 1  A(x),  x E

независимых операций
или A  B (x) =

min(A(x), 1  B(x)),  x E
Дизъюнктивная сумма А  В нечетких множеств А и В определяется как
A    B (x) = max[ min(A(x), 1  B(x) ), min(B(x), 1  A(x))]  x E

определяется функцией принадлежности вида
A B (x) = A(x) B(x),  x E
Алгебраическая сумма

этих множеств обозначается А+В и определяется функцией принадлежности
A+ B (x) = A(x) + B(x) — A(x) B(x),  x E
Степенью нечеткого множества A называется нечеткое множество Aα с функцией принадлежности µAα (x) = µαA (x),  x E, α>0.

операцию концентрирование (уплотнение) (CON):
CON(A) = A2
В результате

применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности относительно велико.
При α = 0.5 получаем операцию растяжения (DIL):
DIL(A) = A0.5
Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества.

Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции принадлежности следующим образом:




Умножение на число.

универсальных множеств U1, U2, … Un соответственно.
Декартово произведение А=А1 ×

А2 ×…× Аn является нечетким подмножеством декартового произведения U = U1 ×U2 ×…×Un c функцией принадлежности вида:
A(x) = min(A1(x1), …, An(xn)), x = (x1, …, xn)  U

систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких

автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений
Обычное неразмытое n-арное отношение R определяется как подмножество декартова произведения множеств
Нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности

являющихся отображением на отрезок [0,1], т.е.

Если множества A и

B конечны, нечеткое отношение R между A и B можно представить с помощью его матрицы отношения, первой строке и первому столбцу которой ставятся в соответствие элементы множеств A и B, а на пересечении a-той строки и b-го столбца помещается элемент

отношение R называют нечетким отношением на множестве A.