Определения

опциона.

Покупатель платит продавцу цену (премию) в обмен получает право (но

не обязательство) купить или продать ценную бумагу по определенной (цене исполнения) цене в определенный момент времени (срок погашения или срок исполнения).

Американский опцион – может быть исполнен в любой момент до срока погашения.

Европейский опцион – исполняется в день погашения.
Большинство опционов – это опционы на рыночные индексы и фьючерсы на валюту.

Определения

успешный
Опцион на отказ от проектв
Опицион на выжидание
Применение теории опционов.

позиции, которые позволяют получить доход при реализации ожиданий. Опционы также

применяются для хеджирования позиций. При покупке или продаже опциона уплачивается его цена, называемая премией.
Какова справедливая цена?
Модели оценки стоимости опционов.
Биноминальная модель
Однопериодная модель.
Двухпериодная модель.
Многопериодная модель.
Ограничения биноминальной модели.
Модель Блэка-Шолеса.
Модель постоянных дивидендов.
Валютные опционы.
Опционы на фьючерсы.

Опционы

ценой исполнения опциона.
Пример.(европейский опцион)
Пусть имеется колл-опцион с ценой исполнения 30.

(право купить акцию по цене 30). Если цена акции будет 20, то вы не исполните опцион. Убыток 30-20=10. Если цена акции будет 40, тогда вы исполните опцион и приобретете акцию за 30 вместо 40.

Определения. Колл –опцион.

Платеж по
колл-опциону

Цена акции

S – цена акции,
X- цена исполнения опциона
Если SЕсли S>X, то опцион исполняется и его цена растет линейно с ростом цены акции.
Прибыль – величина выигрыша
Должна быть выше затраты на приобретение опциона.

Доход колл-опциона
С=max{0,S-X}

исполнен. Платеж по опциону равен


P=max{0,X-S}
Определения. Пут-опцион.
X

биржа –гарант сделки, даже если надписатель (продавец) не может исполнить

обязательство по сделке.
Биржа- контрагент в сделке.
Биржа стандартизирует контракты.
Для поддержания ликвидности биржи фиксируют цены исполнения торгуемых опционов, сроки погашения, даты поставки, точно описывают базовые активы и физическую структуру поставки

Опционы и биржи

– передача сертификата на акцию.
Опционы на фьючерсы – получение фьючерсной

позиции.
Опционы с урегулированием в деньгах.
Даты торговли. Циклы называются по одному из первых трех месяцев года.
Январский цикл – погашение в январе, апреле, июле, октябре.
Лимит на позицию. СВОТ – 25000 контрактов.

Опционы и биржи.

опционов.


Su=40
Cu=20
Pu=0
S

Sd=10
Cd=0
Pd=10
Однопериодная биноминальная модель

–опционов.
Цена исполнения опциона X=20
Акция может стоить 40 или 10
Su=40 -

реализованная цена на акцию при повышении, u - коэффициент повышения.
Sd=10 – реализовавшаяся цена акции при падении, d – коэффициент понижения.
При падении доход портфеля 10*2=20
При повышении до 40 опцион реализуется . Доход равен
+80 – продажа 2-х акций; 2Su=2*40=80
+60 покупка 3-х по исполнению колл-опциона, 3X=3*20=60
-120 – передача акций трейдеру по колл-опциону. Итого 140-120=20.

Стоимость опциона. Безрисковое хеджирование

была равна
2S-3C=20/r
Цена реализации колл-опциона будет равна



Портфель из одной

акции и трех пут –опционов стоит S+3P
цена пут- опциона равна
Р=(40-S)/3
с учетом процентной ставки получим

Стоимость опциона. Безрисковое хеджирование

подобрать коэффициент k из условия


Коэффициент хеджирования такого портфеля (одна акция

и k колл-опционов) равен

Стоимость опциона. Безрисковое хеджирование.

Коэффициент хеджирования показывает, сколько колл-опционов надо купить на одну акцию.

при безрисковой

процентной ставке равна



Отсюда цена опциона равна



Зависит от текущей цены акции, будущей цены акции, цены исполнения и безрисковой процентной ставки

Стоимость опциона. Безрисковое хеджирование.

= =3/2.

Цена колл-опциона для портфеля 2S-3C=20;

Стоимость опциона. Безрисковое хеджирование.

хеджирование.
Пример. X=20, S = 20, Su=40, Sd=10, (1+r)=1.
Тогда Pu=0;

Pd=10; k=2

Для портфеля,

Цена пут-опциона равна

доходность опциона
Предпочтения инвесторов в отношении риска
Вероятности повышения и понижения цены

акции

Для оценки стоимости опциона надо знать безрисковую процентную ставку, текущую цену акции и то, что акция может принимать только два значения.
Принцип нейтральной к риску оценки состоит в том, что доходность актива должна совпадать с безрисковой доходностью.
Можно ли подобрать такие вероятности, что бы доходность акции
Была равна безрисковой.

Принцип нейтральной к риску оценки

на конец периода
Безрисковая процентная ставка
вероятность
Стоимость опциона равна дисконтированной ожидаемой стоимости

по безрисковой процентной ставке.
Принцип нейтральной к риску оценки означает, что ожидаемая доходность равна равна безрисковой процентной ставки..

к риску вероятностей.
Однако все риски опционов можно деверсифицировать с помощью

акций и облигаций.
Опционы служат средством передачи риска от одного актива к другому, не меняют степень риска. Премия за риск учтена в цене опциона

Как нейтральная к риску оценка согласуется с САРМ?

u - коэффициент повышения
d – коэффициент понижения
r

– безрисковая процентная ставка
Цена колл-опциона в конце периода равна

Биноминальная двухпериодная модель.

Цена акции

Время

Период 1

Период 2

S

Su

Suu

Sud

Sdu

Sdd

Sd

на Suu и т.д. получим


Биноминальная двухпериодная модель.
Цена акции
Время
Период 1
Период 2
S
Su
Suu
Sud
Sdu
Sdd
Sd

распространить на любое число периодов.
Терминальные значения стоимости актива используется в

конце периода.

Биноминальная двухпериодная модель.

Цена акции

Время

Период 1

Период 2

S

Su

Suu

Sud

Sdu

Sdd

Sd

двухпериодная модель.
S=10
Su=20
Suu=40
S=Sud=Sdu=10
Sdd=2,5
Sd=5
Дерево цен
Дерево цен колл-опциона
25
8,42
0
2,83
0
0

к N -периодной биноминальной модели для получения окончательной цены надо

произвести суммирование по 2n возможным состояниям, коэффициенты которой выражаются через биноминальные коэффициенты





или

N- периодная биноминальная модель

временного интервала, что означает

Для этого необходимо перейти к непрерывной

доходности
пусть за n шагов было сделано j увеличений и (n-j) уменьшений, тогда цена акции равна


Вычисляя среднее по биноминальной случайной переменной j
и осуществляя предельный переход ,





Получим формулу Блэка-Шоулса

Предельный переход к модели Блэка-Шоулза

а изменения цен являются непредсказуемыми.
Изменения цен (доходности) нормально распределены.

скорость роста
случайность

Модель случайного блуждания

получим выражение для изменения цены, т.е доходности


Модель случайного блуждания или

броуновского движения

броуновского движения цен на акции



Предпосылки. Цена акций и опциона имеют

общий источник риска, то можно сформировать безрисковый портфель, который устраняет мгновенный риск и в отсутствии арбитража принесет доход по ставке мгновенного безрискового процента.





Для пут опциона

Модель Блэка-Шоулза для акций

получения предельных вероятностей






- функция нормального распределения.
Стоимость опцион =дельта цена акции

– банковский заем

Первое слагаемое –ожидаемая текущая стоимость акции при условии исполнения опциона.
Второе слагаемое – текущее значение цены исполнения

Модель Блэка-Шоулза

цены акции 25% в год, процентная ставка 10%. Найти стоимость

опциона.

Модель Блэка-Шоулза