Решение СЛАУ методом Гаусса. Алгебра матриц

С помощью элементарных действий, переходя
от данной матрицы

к эквивалентной, получают треугольную матрицу (прямой ход метода Гаусса).

сделаем её первой строкой эквивалентной матрицы.

Эту
1-ю ведущую строку перенесем в следующую (эквивалентную) матрицу.
1) Элементы 1-й ведущей строки в предыдущей матрице будем умножать на подходящее ненулевое число и складывать поочередно с элементами ниже лежащих строк, результат сложения будем записывать в эквивалентную матрицу. Продолжаем эти действия, пока не получим нули в первом столбце под 1-м ненулевым элементом.







step 0 step1

элементом и обе ведущие строки переносим в эквивалентную матрицу.
Все

элементы 2-й ведущей строки в предыдущей матрице умножаем поочередно на подходящее число и складываем с элементами ниже лежащих строк, добиваясь 2-го нулевого столбца под диагональным элементом эквивалентной матрицы.
Продолжая эти действия, на некотором шаге (s) получим треугольную матрицу:






step 2 step (s)

При находим

Поднимаясь на строку вверх, раскроем (n-1)-е уравнение, оно
содержит неизвестные xn-1 и xn,
последнее уже найдено, подставим его и найдем xn-1.
Поступая аналогично, поднимаемся снизу вверх по строчкам треугольной матрицы, последовательно находя xn-2, xn-3,…,x1. Решение (x1, x2,…,xn) получено.

имеющая m строк и n столбцов.
Матрица AT называется транспонированной относительно

матрицы А, если столбцы одной из матриц совпадают со строками другой.




(m x n) (n x m)

одинаковой размерности называется матрица C=A+B, такой же размерности, элементы которой

равны сумме соответствующих элементов обеих матриц.

2) Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы А (m x n) на число k называется матрица B=kA, той же размерности, элементы которой равны произведениям элементов матрицы А на число k.

А(m x n) равно числу строк матрицы B (n x

p).
Произведением матриц A и B называется матрица C (m x р), обозначаемая C=AB, элементы которой вычисляются по формуле:



(«строка на столбец»).