Статистические методы исследования процессов

наших исследованиях их заменяем набором дискретных измерений, квантуя (разбивая) на

определенные шаги. Это так же вносит свои погрешности.
При квантовании сигнала по времени мы принимаем, что в заданном интервале времени значение остается постоянным, т.е. сигнал принимает ступенчатую форму. Чем меньше шаг, том больше измерений и меньше время на их обработку.
При квантовании сигнала по значение мы считаем что один шаг, который взят для измерения существенно меньше погрешность, который мы хотим достичь. Чем меньше шаг тем больше объем данных, которые мы собираем. Здесь желательно иметь шаг как минимум на порядок меньше желаемой погрешности.

экспериментальных исследований из-за ошибок методики, измерений и случайности;
При проверке моделей

из-за низкой точности экспериментальных измерений или ошибочности модели.
Минимизация ошибок требует постоянных статистических измерений, проверки статистических гипотез для полученных измерений.
Все процессы обычно подчиняются нормальному закону распределения и если во время проведения измерений он начинает нарушаться, то это говорит о наличии каких-либо неучтенных воздействиях на систему. Что мы и должны искать и учитывать в наших моделях.

Математическое выражение для этого закона имеет вид:




Для анализа различных выборок

на их совпадение обычно все данные нормируются по следующей формуле:

с приведением основных точечных характеристик (среднее значение и стандартное отклонение) к 0 и 1 соответственно.

данных числовыми значениями (моментами), к ним относятся среднее значение, стандартное

отклонение и т.п.;
Интервальные оценки, которые представляют наши выборки в виде графиков, что позволяет визуально оценить их. К ним относятся различные гистограммы.
Рассмотрим эти оценки более подробно

самой выборки и вычисляются по формуле:



Первый начальный момент – среднее

значение;
Центральные моменты, которые зависят так же и от первого начального момента




Второй центральный момент – дисперсия, характеризует разброс значений выборки относительно среднего Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии, позволяет оценить область данных с желаемой вероятностью попадания в нее;
Третий центральный момент – асимметрия, показывает наличие отклонений от нормального закона по абсциссе;
Четвертый центральный момент – эксцесс, показывает отклонение от нормального закона по ординате.

строго пополам (при четном числе элементов проходит по середине, при

нечетном по центральному элементу. Сравнение медианы и среднего значения позволяют оценит асимметричность выборки;
Мода, показывает наиболее часто встречающийся элемент;

Анализируя все эти показатели можно оценить насколько выборка близка к нормальному закону распределения и если это не так, то надо искать причины этих отклонений.

Для более наглядного представления статистических данных используют интервальные оценки

визуально оценить их. К ним относятся:
Вариационный ряд, который является основой

для построения гистограмм. Элементы случайной выборки сортируют по возрастанию, что делает ее более наглядной

визуально оценить их. К ним относятся:
Заменяем выбору из N-элементов в

К-карманов, которая становится более компактной (5 пар чисел – карман и вероятность попадания в него)

попаданий СВ в карман, а вторые нормированы к общему числу

испытаний;

любых символов;
Число – цифры (0-9), знаки (+ -), запятая (точка

для американской локализации пакета) и латинская буква (E e);
Формула – строка начинается со знака =. Содержит арифметические операции (+ - * / ^) и функции, аргументами являются адреса ячеек (А12 R12C1) или их имена и константы, заданные числами или текстом.
Адреса ячеек могут быть:
Относительными – задаются относительно ячейки с формулой;
Абсолютными – задаются постоянным адресом ячейки;
Относительно-абсолютным – фиксируется строка, а столбец берется относительно ячейки с формулой;
Абсолютно-относительным – фиксируется столбец, а строка берется относительно ячейки с формулой;
Переход между вариантами адресаций выполняется клавишей F4

адресацией и копируем её растягиванием за уголок

Получаем формулу с ссылками

на ячейки 4 строки

константу 5 (адрес константы фиксируем клавишей F4 один раз). После

растягиваем формулу и получаем формулу с адресом 4 строки и константой в B1

число каждого столбца надо умножить на числа по строкам. Формула

имеет вид (для ячейки A2 фиксируем $ имя столбца, нажимая клавишу F4 три раза, для ячейки B1 фиксируем номер строки, нажимая F4 два раза). После растягиваем формулу сначала по строкам (или по столбцам), а потом не снимая выделения по столбца (или наоборот) получаем формулу.

практически полный набор статистических вычислений. Для вызова настройки используем следующий

путь – «Данные» - .

Если надстройка не установлена её надо запустить используя следующие команды – «Файл» – «Параметры» – «Надстройки» .
переходим к надстройкам и отмечаем нужную.

нужным законам распределения с заданными параметрами;
Описательная статистика – получаем основные

статистические данные по точечным оценкам для выборок;
Гистограмма – строим гистограммы для анализа.

вводим его параметры
Задаем случайное число для разгона генератора СЧ
Указываем куда

поместить выборку

вероятность
Можно отбрасывать заданное число измерений

одинаковым карманам
Указываем куда выводить результаты
Показываем интегральную кривую
Строим график
Сортируем карманы

вычисления точечных параметров СВ в реальном времени:
На листе должна быть

область исходных данных:
Требуемая вероятность исследования;
Тип интервалов для вывода (1-левый, 2-центральный, 3-правый)
Требуемая точность вывода результатов.
Область расчетных данных:
Среднее значение, Стандартное отклонение, Кол-во испытаний.
Область данных для ввода измерений;
Место для ввода текущих измерений.
Область с отчетными данными:
Погрешность среднего;
Заданный интервал существования данных.

следующие функции листа:
СРЗНАЧ() – среднее значение для выборки указанного размера;
СТАНДОТКЛОН()

– стандартное отклонение для выборки;
СЧЕТ() – число испытаний в выборке.
Для всех функций задаем один и т от же параметр, например, как показано здесь 1000 ячеек в столбце D – D2:D1001.

X=Xcp +/- ΔX
Интервалы по следующим схемам:
Левый – (Граница)

– (Граница1) <= X<= (Граница1)
Правый – X <= (Граница)

цифр после запятой. Информация будет представлена в текстовом виде и

для её форматирования используем функцию:
ТЕКСТ(Значение, Формат)
Где: Значение – числовое выражение, которое надо отформатировать; Формат – вид формата для форматирования.
У нас формат будет иметь такой вид – “#0,00”, где число нулей после запятой должно зависеть от числа значимых чисел для этого построим следующую формулу – ="#0," & ПОВТОР("0";B4)

ячейках G2:H5 просто запишем соответствия номеров и интервалов для памяти.
В

ячейках G7:G9 создадим вспомогательные формулы для построения одной общей формулы интервала в отчетную ячейку B13.

НОРМОБР(Вероятность, Ср_значение, Ст_отклонение), которая находит вероятное значение Х для указанной

вероятности. В зависимости от типа интервала значения вероятностей будут:
Левый – Р=1-Рзад;
Центральный – Рлев=(1-Рзад)/2; Рпр=1-(1-Рзад)/2;
Правый – Р=Рзад.
Отсюда окончательные формулы для интервалов будут выглядеть:
Левый – =НОРМОБР(1-B2;B7;B8);
Центральный – =НОРМОБР((1-B2)/2;B7;B8), =НОРМОБР(1-(1-B2)/2;B7;B8);
Правый – =НОРМОБР(B2;B7;B8)

соединенную со значениями Х в зависимости от заданной вероятности и

полученных среднего и стандартного отклонения. Для соединения строковых переменных используем & (амперсанд).
Итоговыми формулами для интервалов будут:
Левый – =ТЕКСТ(НОРМОБР(1-B2;B7;B8);G12) & "<=X";
Центральный –
=ТЕКСТ(НОРМОБР((1-B2)/2; B7;B8); G12) & "<=X<=" & ТЕКСТ(НОРМОБР(1-(1-B2)/2; B7;B8); G12);
Правый – ="X<=" & ТЕКСТ(НОРМОБР(B2;B7;B8); G12)

Строим эти формулы в ячейки G7:G9 (адреса: B2 – вероятность; B7 – среднее значение; B8 – стандартное отклонение; G12 – формат вывода), а потом соединим их в одну формулу

"

для вызова дополнительных функций

необходимыми данными.
Для возврата в поля ТЕКСТ() щелкаем на его имени

строку редактирования и заполняем нужные данные:
И завершаем ввод формулы клавишей

Enter или щелчком мышки на

нужной информации:
Копируем текст формулы из ячейки и завершаем операцию редактирования

клавишей Esc (Escape) или кнопкой крестик:

Переходим в следующую ячейку G8 и вставляем строку текста;
Перемещаем курсор к X и вводим <=, выходим за кавычки и дополняем & (пробел – амперсанд – пробел):

Вносим изменения в формулу вычисления вероятности прямо в строке редактирования или в окне функции вызвав её кнопкой fx:

Копируем функцию ТЕСКТ(), переносим в конец строки и исправляем формулы для вероятности:

что созданной формулы:
Копируем фрагмент текста формулы из ячейки и завершаем

операцию редактирования клавишей Esc (Escape) или кнопкой крестик:

В ячейку G9 вставляем знак = и затем скопированный текст:

Убираем перед X знаки <= и исправляем формулу вероятности:

Все наши формулы готовы, строим общую формулу с помощью функции ЕСЛИ(), сначала готовим функцию для выбора числа, соответствующего заданному интервалу:

Вызываем функцию ЕСЛИ()

заполняем поля формы:
Лог_выражение – B3=1 (B3 – адрес вида интервала;
Значение

если истина – 1;
Значение если ложь – снова вызываем функцию ЕСЛИ() (слева в строке редактирования и вводим данные B3=2, 2, 3

соответствующие формулы по следующей процедуре:
Копируем формулу для левого интервала без

знака =;

Завершаем редактирование (Esc или крестик) и открываем для редактирования формулу с ЕСЛИ() (встаем в ячейку с формулой и нажимаем F2 или щелкаем мышкой в строке редактирования), выделяем вторую 1;

Вставляем скопированный текс и завершаем редактирование;

Повторяем эти операции для второй и третей формул, помещая их вместо второй 2 и последней тройка. При вставке третий формулы надо расширить строку редактирования до нескольких строк с помощью кнопки в правом конце строки редактирования;

данных центрального интервала:
ΔX=(Рпр- Рлев)/2/КОРЕНЬ(N)= =((1-(1-Рзад)/2)-(1-Рзад)/2)/2/КОРЕНЬ(N)= =(НОРМБР(1-(1-B2)/2;B7;B8)-НОРМБР((1-B2)/2;B7;B8))/2/КОРЕНЬ(N)
Рассмотрим порядок построения формулы (Xcp +/- ΔX)
Строим

среднее значение в заданном формате:

Потом переходим в строку редактирования и дописываем
& “+/-” &

сразу же вызываем НОРМ.ОБР() и заполняем данные для правой границы:
Переходим

в окно функции ТЕКСТ() (щелкаем на её имени в формуле и начинаем исправлять поле значения:

копируем строку формулы:
Перемещаемся в конец строки клавишей End, ставим знак

минус и вставляем скопированный текст, исправляем формулу вероятности (убираем 1-), снова перемещаемся в конец текста (End), закрываем скобку, делим на 2 и делам на корень из числа испытаний. Корень вызываем через последние вызванные функции и в появившемся окне делаем ссылку на ячейку с числом испытаний, потом снова возвращаемся на функцию ТЕКСТ() и заполняем поле формата.

установленной точностью измеряемых данных, ошибками при косвенных вычислениях и другими

погрешностями, связанными с самой методикой измерений. Используя интервальные оценки можно хорошо видеть наши интервалы.
Проведя, серию измерений можно выполнить поиск случайных ошибок среди выполненных измерений, сравнивая средние значения и стандартные отклонения выборок, которые отличаются друг от друга одним выброшенным измерением, сначала самым большим, потом самым маленьким и т.д. пока сравниваемые параметры не окажутся отличными друг от друга.

данных