Тема урока:

отношениях: во-первых, по сильному влиянию этой строгой науки на развитие

умственных способностей; во-вторых, по обширности её приложения»
( М. В. Остроградский)

Механический и физический смысл производной

ГПОУ «Новоазовский индустриальный техникум»

Тема урока:

математического кругозора, реализация межпредметных связей с различными отраслями деятельности человека. 2.

Формирование навыков исследовательской деятельности; развитие познавательного интереса, внимания и наблюдательности.
3. Воспитывать стремление к совершенствованию знаний, алгоритмическую культуру, интерес к предмету, трудолюбие.

или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости

этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения

материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. .
Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s'=f '(t) и подставить в неё соответствующее значение t.

прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути

по времени, вычисленной для данного момента.

задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые из них.

N = A' (t)

2.Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:
ρ(l) = m' (l)

3.Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:
C(t) = Q '(t)

4) Сила тока есть производная заряда по времени:
I = q ' (t)

вычисления скорости движения
точки в любой момент времени

t ( t > 0);
б) найдите скорость в в момент t = 2c;
в) через сколько секунд после начала
движения точка остановится?
Решение:
а) v(t) = - t 2 + 4 t + 5.
б) v(2) = - 2 2 + 4∙2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).
в) v(t) = 0, - t 2 + 4 t + 5 = 0, t1 = -1, t2 = 5,
-1 < 0, не удовлетворяет условию задачи.
Точка остановится через 5 секунд после начала движения.

по закону

, где h – путь в метрах, t- время в секундах.
Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если , g = 10м/с2.
Решение:

=125.


Ответ: 125 м.

(в граммах) распределяется по закону m (L) =4 *L2

– 2* L +5, где L – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня.




Решение:
ρ(L) = m ' (L)
ρ(L)= (4 *L2 – 2* L +5)' = 4 *2*L – 2* 1 +0 = 8*L– 2,
ρ(4) = 32 – 2 = 30 (г/см3 )
Ответ: 30 г/см3






Ответ: 30 г/см3

нагревания тела массой 1 кг от С

до температуры (по Цельсию), известно, что в диапазоне от до , формула
дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

Решение:

задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в

цепи равен нулю?
Решение:
I(t) = q' (t),
I(t) =( t+4/t)' = 1 – 4/t2;
I(t) =0 , 1 – 4/ t2 =0, t2 =4.
Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи.
Ответ: t = 2.

используемые для этого формулы .
2. Решить задачу (следующий слайд)

- схема решения задачи – слайд15

S1 = 2*t 3-5 *t 2 -3*t (м)

и S2= 2*t 3- 3*t 2 -11*t + 7 (м) Найдите их ускорения в тот момент времени (в секундах), когда их скорости равны.

1 (t) =
S2 (t) =
S'1 (t) =
S'

2 (t) =

a1 (t) =

V2 (t) =

Составить уравнение V1 (t) = V2 (t) :

t 0 =

V'1 (t) =

V'2 (t) =

V1 (t) =

a2 (t) =

a1 (t0) =

a2 (t0) =

б)ускорение; в)угловой коэффициент; г)не знаю.
2
Точка движется по закону S(t) =2*t2

-3*t. Чему равна скорость в момент to=2c?
а) 5; б)12; в)9; г)3.

3

4

Точка движется прямолинейно по закону S(t) =t3 /3 -2*t2+ 3*t+1. В какой момент времени её с ускорение будет равна 0?
а) 1и 3; б)1 и 4; в)2; г)2 и 0.

В чем сущность геометрического смысла производной? а)скорость; б)ускорение; в)угловой коэффициент; г)не знаю.

Точка движется по закону S(t) =2*t3 -3*t. Чему равна ускорение в момент to=1c?
а) 15; б)12; в)9; г)3.

Точка движется прямолинейно по закону S(t) =t3/3 -2*t 2+ 3*t+1. В какие моменты времени её скорость будет равна 0?

а) 1и 3; б) 1 и 4; в) 2; г)2 и 0.

В тесте (оформляйте его на отдельной странице) указываете номер задания и правильный ответ, в заданиях 2 и 3 показываете и решения.