Валентинов В.А. Эконометрика. Лекция 14. Виды нелинейных уравнений регрессии

(модуль 4)
14.1. Ограничения применения МНК
14.2. Линейная относительно коэффицентов, переменных аддитивная

модель
14.3. Нелинейные модели, которые являются внутренне линейными
14.4. Нелинейные модели, которые являются внутренне нелинейными

(модуль 4)
14.1. Ограничения применения МНК
Многие экономические процессы описываются нелинейными функциональными

зависимостями. Для такого процесса необходимо определить аналитическую связь между результативным признаком и факторным.

Метод наименьших квадратов применим к линейным (относительно коэффициентов и параметров) аддитивным регрессионным уравнениям следующего вида:
У = а0 + а1*Х1 + а2*Х2 + … ак*Хк + е,
где - а0, а1, … -коэффициенты регрессии являются линейными и соединены аддитивно (сложением),
Х1, Х2, … -переменные находятся в первой степени.

(модуль 4)
14.2. Линейная относительно коэффициентов, переменных аддитивная модель
Приводим классификацию эконометрических

моделей относительно коэффициентов, переменных и остатков.
Модель считается линейной по коэффициентам и переменным с аддитивными остатками и коэффициентами, если выполняются следующие условия:
- коэффициенты имеют первую степень;
- переменные имеют первую степень;
- коэффициенты связаны аддитивно;
- остатки включены в модель аддитивно.
Пример линейной модели по коэффициентам, переменным и аддитивным остаткам:
Уi = а0 + а1*Хi + еi – линейная однофакторная модель.
Уi= a0 + a1*Х1i + a2*Х2i + a3*Х3i + ei- многофакторная линейная модель,
где Х1, Х2, Х3- факторы, независимые переменные, оказывающие влияние на У.

(модуль 4)
14.3. Нелинейные модели, которые являются внутренне линейными
ГС 14.2.

Нелинейные модели называются внутренне линейными, если после преобразований они могут быть отнесены к линейному виду.
КС
Приводим нелинейные модели, которые являются внутренне линейными (Ф 14.3).
ГС 14.3.
Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:
- коэффициенты имеют первую степень, но некоторые входят в состав степени;
- переменные имеют степень, отличную от 1;
- коэффициенты связаны мультипликативно;
- остатки включены в модель мультипликативно.
Пример модели, нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам:
Уi = a0*Xia1*ei – степенная модель
КС
Модель считается нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:
- коэффициенты имеют степень, отличную от 1;
- переменные имеют первую степень;
- коэффициенты связаны мультипликативно;
- остатки включены в модель мультипликативно.
Пример модели, нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным и мультипликативным остаткам:
Уi = a0*a1xi*ei – показательная модель
У = 1/(а+bX + e) – модифицированная гипербола (Ф 14.2)

(модуль 4)
Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и

мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия:
- коэффициенты имеют первую степень и входят в состав степени;
- переменные имеют первую степень, но входят в состав степени;
- коэффициенты связаны аддитивно, но входят в состав степени;
- остатки включены в модель мультипликативно.
Пример модели, нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам:
Уi = e a0+a1*Хi *еi – экспоненциальная модель.
Все перечисленные виды нелинейных моделей являются внутренне линейными, так как после преобразований могут быть приведены к линейному виду.
Например, степенную модель, отражающую зависимость спроса от цены
Уi = a0*Xia1*ei
можно считать внутренне линейной, так как после логарифмирования получим линейную модель:
lnY = lna0+a1*lnXi+lnei.
Коэффициенты линейных моделей можно рассчитать с помощью Метода Наименьших Квадратов (МНК)

(модуль 4)
14.4. Нелинейные модели, которые являются внутренне нелинейные
Нелинейные модели являются

внутренне нелинейными, если их нельзя привести к линейному виду.
Внутренне нелинейными являются модели вида:
Уi = a0*Xia1 + ei





Коэффициенты нелинейных моделей, которые являются внутренне нелинейными (вообще любых моделей), рассчитываются с помощью интерактивных методов, например, с помощью программы Ехсе1 «Поиск решения»: необходимо найти такие коэффициенты, при которых сумма квадратов остатков (целевая функция) будет минимальной.