Вопрос 3. Корреляционно-регрессионный анализ

объема рекламы в этом же периоде?
Преподаватель хочет выяснить, есть ли

зависимость между количеством часов, потраченных студентом на занятия, и результатами экзамена?
Врач исследует, влияет ли кофеин на сердечные болезни и существует ли связь между возрастом человека и его кровяным давлением?
Зоолог стремится узнать, есть ли связь между весом определенного животного при рождении и его продолжительностью жизни.
Социолог исследует, какова связь между уровнем преступности и уровнем безработицы в регионе? Есть ли зависимость между расходами на жилье и совокупным доходом семьи? Связаны ли доход от профессиональной деятельности и продолжительность образования?

Существует ли связь между двумя или более переменными?

Вопрос 2. Какой

тип имеет эта связь?

Вопрос 3. Насколько она сильна?

Вопрос 4. Какой можно сделать прогноз, основываясь на этой связи?

переменными и на сколько она сильна.

Регрессия – статистический метод,

который используется для описания характера связи между переменными (положительная или отрицательная, линейная или нелинейная зависимость).

связь означает изучение двух переменных.
Стаж менеджера
по продажам
на

фирме

Годовой объем
продаж

Успеваемость
студента

Успеваемость
в школе

Время
на занятия

Коэффициент
IQ

тем выше результат.

задаст преподаватель.

Возможно, эта зависимость квадратичная или какая-то иная.

Обозначения:
Выборочный коэффициент корреляции r

Коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ

+1.

Если между переменными существует сильная положительная связь, то значение

r будет
близко к +1.

Если между переменными существует сильная отрицательная связь, то значение r будет
близко к –1.

Когда между переменными нет линейной связи или она очень слабая, значение r будет близко к 0.

с использованием всевозможных пар значений признаков (х,у) генеральной совокупности.
Требуется
Оценить

коэффициент корреляции генеральной совокупности ρ на основе значения коэффициента корреляции выборки r.
Условия
Выборочный коэффициент корреляции r используется для оценки ρ, если выполнены следующие предположения:
Переменные х и у линейно зависимы
Переменные являются случайными
Обе переменные имеют нормальное распределение

включает традиционные пять шагов:

Шаг 1. Сформулировать гипотезы.
Шаг 2. Построить критическую

область.
Шаг 3. Вычислить значение критерия.
Шаг 4. Сравнить, принять решение.
Шаг 5. Написать ответ.

ρ ≠ 0

Основная гипотеза утверждает, что не существует корреляции между

признаками х и у в генеральной совокупности. Альтернативная гипотеза утверждает, что корреляция между признаками х и у в генеральной совокупности значима.

= n – 2 степенями свободы:





Границы двусторонней критической области находятся

при помощи таблиц (ПО) значений t-распределения.

(х определяет у). Наличие воды ускоряет рост растений, яд вызывает

смерть, жара – таяние льда.

2. Обратная причинно-следственная связь между переменными
(у определяет х). Исследователь может думать, что чрезмерное потребление кофе вызывает нервозность. Но, может быть, очень нервный человек хочет кофе, чтобы успокоить свои нервы?

3. Связь между переменными вызвана третьей переменной. Исследователь установил, что существует некая зависимость между числом утонувших людей и числом выпитых безалкогольных напитков в летнее время. Может быть, обе переменные связаны с жарой и потребностью во влаге?

4. Взаимосвязь между несколькими переменными. Исследователь может обнаружить значимую связь между оценками студентов в университете и оценками в школе. Но, возможно, действуют и другие переменные: IQ, количество часов занятий, влияние родителей, мотивация, возраст, авторитет преподавателей.

5. Зависимость случайна. Исследователь может найти значимую зависимость между увеличением количества людей, которые занимаются спортом и увеличением количества людей, которые совершают преступления. Но здравый смысл говорит, что любая связь между этими двумя переменными должна быть случайной.

и вес. Зависимость имеет приближенно линейный характер. Значения переменных колеблются

вокруг некоей гипотетической прямой линии, которая называется линией регрессии. Как её построить?

для каждого x имеется некоторое значение y. Кроме того, для

каждого x существует соответствующее ему значение линейной функции y = ax + b. Сравним их.

Расстояние между этими значениями должно быть минимально.

54,5

улучшению результата на 5,6 балла.

2. Чтобы улучшить результат на 10

баллов, нужно заниматься на 1,8 часа больше.

3. Если не заниматься вообще – получишь 54,5 балла.

4. Чтобы получить 100 баллов, нужно заниматься 8,1 часов.

2. Если визуально просматривается связь, найти коэффициент корреляции.
Шаг 3. Оценить

значимость коэффициента корреляции.
Шаг 4. Если коэффициент значим, то найти уравнение регрессии.
Шаг 5. Построить разумные прогнозы: для значения независимой переменной х предсказать значение зависимой переменной у.
Научимся:
Шаг 6. Оценить надежность прогноза: найти коэффициент детерминации, стандартную ошибку оценки и интервал предсказания.

вариации:
Общая
вариация
Объяснимая
вариация
Необъяснимая
вариация

вариации:






Коэффициент детерминации – это мера вариации зависимой переменной, которая определяется

линией регрессии и независимой переменной. Коэффициент обозначается r2.

квадрат коэффициент корреляции.

Если r = 0,922, то r2 =

0,85 или 85%. Это означает, что 85% вариации зависимой переменной определяется вариацией независимой переменной.

Оставшиеся 15% – необъяснимая или случайная вариация. Это значение называется коэффициентом недетерминации и находится вычитанием коэффициента детерминации из единицы.

значений у от предсказываемых значений у’:




Чем ближе наблюдаемые значения к

предсказываемым, тем меньше стандартная ошибка оценки.

– α) содержит реальное значение у.

необходимые вычисления
Шаг 2. Нашли у = 5,6·4 + 54,5 =

76,9
Шаг 3. Нашли стандартную оценку ошибки sest =5,08
Шаг 4. Нашли t-значение =0,95 и df = 6 – 2 = 4. Получили t=2,776
Шаг 5. Нашли E:

может получить студент при 4 часах подготовки, находится с вероятностью

95% в интервале: