Задача II Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в ограниченном

цилиндре c однородными граничными условиями на крышках
Физическая постановка задачи
Найти потенциал

(II.1)

Математическая постановка задачи
Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри цилиндрической коробки

граничные условия
на крышках

(II.2)

(II.3)

граничные условия
на боковой поверхности

именно, решение будем искать в виде
(II.4)
Подставим решение (2.4)

(II.5)

Разделим уравнение (II.5) на выражение

,

(II.6)

возможно, если выражения,
входящие в это равенство, равны некоторой константе

Задача 1

Требуется решить
обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

(II.7)

с граничным условием

(II.8)

порядка

.

Граничные условия (II.10) задачи 2 вытекают из условий (II.2)
исходной задачи (потенциал на крышках цилиндра равен нулю)

Замечание

. (II.9)

граничные условия

выражается через экспоненты и
условия (II.10) могут быть выполнены только

В этом случае решение (II.9) имеет вид
и условия (II.10) выполняются, если

Чтобы обеспечить выполнение (II.10), необходимо,
чтобы частные решения (II.9) имели вид

. (II.11)

. (II.12)

Сделаем замену переменной

Обозначим

модифицированное
уравнение Бесселя
нулевого порядка
в новых переменных

.

общее решение (II.14)

. (II.14)

– модифицированная функция Бесселя
нулевого порядка второго рода или

Так как функция Ганкеля имеет особенность в нуле,

.

Решением задачи 1 является функция

.

то чтобы получить ограниченное в нуле решение, положим

Частные решения задачи II выражаются следующим образом

Общее решение задачи II

. (II.15)

разложив функцию
в ряд Фурье
Подставляя в (II.3) потенциал в виде

(II.16)

(II.19)

(II.17)