Понятие бесконечной интегральной суммы. Интеграл

Леонид Альбертович , г.Минск
– формула
Ньютона-Лейбница

ширину реки H на n равных частей, то при n→∞:
Sk=Δx∙g(xk)
x0
xn
Последнее

выражение в равенстве и есть бесконечная интегральная сумма.

фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел,

изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].

H

x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим

числом (n→), то:

Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

Примечание. ∑ – так сокращенно обозначают знак суммы.

и вывод окончательной формулы объёма прямоугольного параллелепипеда (для проверки ☺):
Vпр.пар.=(S1+S2+…+Sn)∙Δx=n∙Sосн.∙

= Sосн.∙H

Объем прямоугольного параллелепипеда равен бесконечной интегральной сумме площадей сечения (равных площади основания) на промежутке [0; H] (взятых вдоль высоты).

длина которого равна значению функции (или его модулю, если значения

функции отрицательные).

y=f(x)

a

x0=

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна бесконечной интегральной сумме значений данной функции на промежутке [a; b].

Δx

помощью понятия бесконечной интегральной суммы значений данной функции f(x) на

отрезке [a; b]. В математике принята более короткая запись этого понятия – интеграл (∫), т.е.

Примечание. Обратите внимание, что знак интеграла напоминает стилизованную букву S, что естественно из геометрического смысла этого понятия.

Читают: интеграл от a до b эф от икс дэ икс.

Число a называют нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Если Вы владеете понятием предела (lim), то можно дать следующее определение интеграла:

, где xn∈[a; b].

прямоугольник такой же площади ΔS, опирающийся на отрезок [x; x+Δx].

c
В

силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой c∈[x; x+Δx]. Высота прямоугольника равна f(c). По формуле площади прямоугольника имеем:

S(x)

Выберем произвольный аргумент x∈[a; b].

S(a)

S(b)

на заданном промежутке значения функции отрицательны).
Вы уже знакомы с понятием

первообрáзной функции. Доказанное нами утверждение S'(x)=f(x) в силу основного свойства первообразных для всех x∈[a;b] означает, что:
S(x)=F(x)+C,
где С – некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f(x).
Для нахождения С подставим x=a:
F(a)+C=S(a)=0
F(a)=–C.
Следовательно, S(x)=F(x) –F(a).
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b)=S, подставляя x=b, получим:
S = S(b) = F(b) – F(a)=

с помощью учителя):
Применение этих свойств часто упрощает вычисление интегралов.
, где

c∈[a; b]

, где c∈

.

Решение.