Применение производной в различных областях науки

 перемешивают свои карточки, делят пополам  и начинают раскладывать домино с

карточки, в которой заполнена только правая или левая часть. Далее вы должны найти на другой карточке выражение  тождественно равное выражению на первой карточке и т. д. В результате получается цепочка. Домино считается разложенным только тогда, когда все карточки использованы  и   крайние половинки последней и первой карточки пустые. Данная игра позволяет усвоить таблицу производных элементарных функций.

в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или

других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, тогда У - функция степени реакции выражается формулой y = x²(a - x), где а – биомасса. При каком значении X реакция максимальна?

Решение: 0< x < а. Значит y′ (x)=2ax-3x² .
Тогда


Это тот уровень дозы,
который даёт
максимальную реакцию.

его координата изменяется по закону S(t), то скорость его движения

v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость

Производная от скорости по времени есть ускорение:

Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной Таким образом, ускорение движения в момент времени t равно
т.е. равно производной от производной
Эту производную называют второй производной от функции и обозначают Итак,

работает электрический ток.
Под электрическим током понимают направленное движение свободных

электрически заряженных частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

=q’(t)

q=sin*(2t-10)
Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

Решение:
Найдём производную q
(q)`= cos(2t-10)2= 2cos(2t-10)
Согласно условиям задачи, t равно 5 секундам , откуда следует:
(q)`= 2cos(2*5 – 10) = 2 cos 0 = 2 (А)

Ответ: I = 2 (А).

в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой

передаче приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х2-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший?
Решение:
Исследуем расход горючего с помощью производной:
f '(х)=0,0034х-0,18.
Тогда f'(х)=0 при х≈53.
Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на

мост, водитель нажал на тормозную педаль.
С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²?
Решение:
v(t) = s’(t) = 20 – 2t
Вычислим скорость авто,
которое оно приобретёт
через 7 секунд:
v(7) = 20- 14 = 6 (м/с)
6 м/с = 21,6 км/ч.
Ответ: Да , с разрешаемой.

синиц через год и 2 года, если плотность синиц составляет

260 особей/га. За период размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 3 птенца.

Задача

В популяции равное число самцов и самок. Смертность синиц постоянна, в среднем за год погибает 27особей. Найти скорость роста численности популяции в год.

данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно

скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Эффективная численность популяции – это совокупность особей, которые участвуют в воспроизведении потомства.(Ne)
Плотность популяции – это численность популяции на единицу площади.
Формула Ферсхюльца: N1 = (Ne - Ксмерт)( Крожд + N0 )
Скорость численности популяции : v(t)=N’(t)

равное число самцов и самок, а значит эффективная численность популяции

равна 100.
Nе= 100% , тогда Nе= 1
Коэффициент смертности Ксмерт = 27% = 0,27
За год 130 пар дает 390 птенцов, т.е. (260/2)*3 =390
Формула N1 = (Nе- Ксмерт )( Крожд+ N0 ) =
= (1-0.27)(390+260)= 474 особей всего за 1-ый год N1

∆N= 474/260= 1,82 раза
Тогда численность популяции будет

определяться функцией : N= 260* 1,82t где t=1,2,….
Найдем тогда скорость роста численности популяции:
  v(t)= N’(t) = (260*1.82t)’ = 260* (1.82t)’ =
=260*1.82t * ln 1.82 (особей/ год)
  N(1) = 260*1.821= 260*1.82= 474 особи
N(2)= 260*1.822= 260*3.3124= 861 особь.
Ответ: 260*1.82t * ln 1.82 особей/ год

скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать

во многих областях
научно-производственной деятельности .

Как используют производную в химии?

разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам

и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. Поэтому в реальной жизни для решения производственных задач в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности просто необходимо знать скорости реакций химических веществ.

веществ в единицу времени или
производная от концентрации реагирующих веществ

по времени (на языке математике концентрация была бы функцией, а время – аргументом)

Определение

в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент

времени t равна производной:

V (t) = p ‘(t)

Формула производной в химии

зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической

реакции через 3 секунды.

Пример задачи по химии:

Р’(t) = t +3
2. Подставим значение

t = 3 сек:
P’(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек )
Ответ: 6 моль/сек

Решение:

и кислорода (O2). Требуется найти концентрацию O2 кислорода, при которой

содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.
Решение. В условиях практической необратимости скорость реакции
2NO + O2 = 2NO2
выражается формулой v = kx2y , где x – концентрация NO в любой момент времени, y – концентрация O2 , k – константа скорости реакции, не зависит от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры.
Концентрацию газов будем выражать в процентах. В этом случае
х + у=100.
у = 100 - х , т.к. v = kx2y, то v = kx2(100-х) = k(100x2 - x3)= v (x) при x[0; 100]
x=0 или 200-3x=0
-3x=-200
x= -200: (-3)
x= 66.67 % [0; 100]
v ’ (10) > 0, v ’ (100) < 0. Следовательно скорость наибольшая , когда
х ≈ 66,67%, и у =100-x= 33,33%.
Ответ: m(NO)≈ 66,67% и m(O2) ≈ 33,33%.

реакции.
Заключение

рабочее время в часах. Вычислить максимальную производительность труда в течение

рабочего дня.

труда?

Ответ: упадок сил, плохо проветрено помещение, возможно бригада рабочих использует

ручной труд.

и обычным гражданам в распоряжении бюджетом.

популяции, его спада или роста, и выявления причин того или

иного процесса; для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.
 Ход работы:
 Задание №1.
 В среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность (p) популяции
возрастает по закону p(t)= 1000 + , где t выражается в часах.

Найти максимальный размер этой популяции и проанализировать
результат.
 Задание №2.
Рассчитайте на основании имеющихся данных, как будет меняться
плотность популяции мушек дрозофил через год и 2 года, если
плотность популяции составляет 256000 особей/га. За период
размножения из одной кладки яиц в среднем выживает 22 особи. В
популяции равное число самцов и самок. Смертность дрозофил постоянна,
в среднем за год погибает 36% особей. Найти скорость роста численности
популяции в год. Полученные данные проанализировать.

определить насколько это важно для задач практического характера; для

этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.
Ход работы:
Задание №1.
 Заряд, протекающий через проводник, меняется по

закону q=sin3 (2t-10). Найти силу тока в момент t=50 сек.
 
Задание №2.
 
Тело массой m0 движется прямолинейно по закону

s(t)= αt2 +βt+ γ, где α, β, γ – постоянные. Доказать, что
сила, действующая на тело, постоянна .
 
 
 

этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.  
Ход работы:
Задание

№1.
Смесь состоит из серы(S) и кислорода(O2). Требуется найти
концентрацию кислорода(O2), при которой сера(S) реагирует с
наибольшей скоростью.
 
Задание №2.
При какой концентрации азота(N2) и водорода(H2) реакция будет
достигать наивысшей скорости, если в результате их
взаимодействия образуется аммиак(NH3).
 

спада или роста, и выявления причин того или иного процесса;

для этого выполнить задания, записать ход решения, сделать выводы.
 Ход работы:
Задача №1
Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он
должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн
цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не
может превышать 90 тонн в день.
Определить:
1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими ( наименьшими);
2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода?
Функция суммарных затрат имеет вид: K(x)= - x3 + 98x2 + 200x

издержки
производства при увеличении объёма
выпуска на x=2 единицы и на
x=10 единиц.
Вопрос:

выгодно ли данному
предприятию наращивать
производство, если уровень затрат не
изменится?

а) Смесь состоит из углерода (С) и алюминия (Al). Требуется найти концентрацию углерода (С), при которой содержащаяся в смеси карбида алюминия реагирует с наибольшей скоростью. б) Первоначальная численность популяции состоит из 3000 особей. Найти максимальный размер этой популяции, если ее численность р(t) возрастает по закону
, где t выражается в часах.
2. Шкиль Н. И. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровень). 10-11 кл.- К.: Зодиак-ЭКО, 2014.
§15, п. 15.1-15.3