Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

мажорант

не знали, как он называется.
Некоторые математики называют этот метод
по-другому:
«метод

f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) –

Мажорантой (от magiorante – главенствующий)
данной функции f (х) на множестве D( f )
называется такое число М, что
либо f(х) ≤ М для всех х ϵ D( f ),
либо f(х) ≥ М для всех х ϵ D( f ).

существует такое число М, из области
определения (уравнения или неравенства), что

Эту ситуацию хорошо иллюстрирует график.       

неравенства:
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Полученная система не имеет

не удовлетворяет второму уравнению.

Графическая иллюстрация

уравнение равносильно системе:
При х = 0 второе уравнение обращается в

х = 0 корень уравнения.

Ответ: х = 0.

Графическая иллюстрация

тогда и только тогда, когда
Ответ: - 1.
Решение.
Графическая иллюстрация

для суммы двух взаимно
обратных чисел) выполнено
Поэтому уравнение имеет решения,

принимает значение от 0,5 до 2.

Решение. Оценим обе части уравнения.

Графическая иллюстрация

1 и - 1 ≤ sin 9x ≤ 1,

равенство

выполняется тогда и только тогда, когда

Решением первого уравнения системы являются значения

Решение. Оценим обе части уравнения.

получаем:
Следовательно, левая часть равна правой, лишь при условии:
Значит, данное

Решая
систему
уравнений, получаем:

.

Заметим, что перемножив

уравнение
Решение. Для решения уравнения
оценим его части:
Равенство

Сначала решим второе уравнение:

Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0.

Ответ: 0.

При х = -1 имеем:

которых уравнение
имеет решения. Найдите эти решения.
При всех

При всех значения х выражения

Поэтому

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:

Решение. Перепишем уравнение в виде