Мир многогранников

красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному

совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
Бертран Рассел

невыпуклые

Тела
Архимеда

Тела
Платона

Выпуклые
призмы и
антипризмы

Тела
Кеплера-
Пуансо

Невыпуклые
полуправильные
однородные
многогранники

Невыпуклые
призмы и
антипризмы

все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер .
Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах  правильного многоугольника равны.
 
Правильные многогранники - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. 

вершина может принадлежать трем и более граням.
Сначала рассмотрим случай, когда

грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют

гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.
Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся.
Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и

додекаэдр с пятиугольными гранями.

Эти тела еще называют
телами Платона.

многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519)

например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.
 

художник Эшер

факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе

всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.
    Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство.
  Многогранники в архитектуре

как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего

Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

 ЦАРСКАЯ ГРОБНИЦА

основании из
массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в

    ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

Кеплера-Пуансо
Невыпуклые полуправильные многогранники