Интеграл.

на данном промежутке. Разобьем отрезок [a,b] на n отрезков одинаковой

длины точками x1,x2….xn-1 где a=xk-xk-1,k=1,2,…n-1,n На каждом отрезке[xk-1;xk] выберем по точке ξ, xk-1≤ξ≤xk и вычислим значение f(ξ) нашей функции f(x) в этой точке. Умножим f(x) на длину xk-xk-1=Δx отрезка [xk-1;xk]. Сложим все полученные произведения т.е.составим сумму
σ = Она носит название интегральной суммы или суммы Римана. Заставим Δx стремится к нулю.Тогда I= называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a;b].Он обозначается символом Читать нужно « интеграл от а до b эф от х дэ х» Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, а отрезок [a;b]-промежутком интегрирования.

f неотрицательна и непрерывна на отрезке [a;b], тогда площадь S

соответствующей криволинейной трапеции(фигуры ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью x, по бокам прямыми x=a, x=b) можно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины точками x0=aпусть xk-xk-1,где k=1,2,….n-1,n На каждом из отрезков [xk-1;xk] как на основании построим прямоугольник высотой
f(xk-1).Площадь того прямоугольника равна

а сумма площадей всех таких прямоугольников равна

В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом n ,
т.е. при малом Δx , почти совпадает с интересующей нас криволинейной трапецией. Можно предположить, что Sn S при n. Предположение верно. Даже для любой непрерывной на отрезке функции. Итак, если f(x)≥0 на отрезке [a;b],то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой

функции f(x) на промежутке, и

формулу S=
Сравнивая их получим, что

если F-первообразная для функции f на

[a;b],то


Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она верна для любой функции f,непрерывной на отрезке [a;b]

где a≤x≤b, вычисляется по

формуле l=

или l=.

Длина дуги заданной параметрическими
уравнениями x= ,y= (t1≤t≤t2), выражается
формулой
l= l=

трапеции АabВ,где АВ-дуга кривой y=f(x) между точками x=a,x=b, вычисляется по

формуле

Vх= или Vx= Объем тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции СcdD,где CD-дуга кривой x= (c≤y≤d), определяется по формуле
Vy= или Vy=

действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f

от х.При этом мы предполагаем, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М(a) в точку М(b).Тогда работа вычисляется по


формуле A=




Центр масс Пусть вдоль стержня-отрезка [a;b] оси ОХ распределена масса
плотностью где - непрерывная функция. Тогда

суммарная масса стержня равна М= координата

центра масс x’=

Высш. школа,2005.
Высшая математика : Учеб.- 2-е изд., перераб. и доп./

Ильин В.А., Куркина А. – М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред. проф. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2000.
Математика: Учебник (Серия «Профессиональное образование»)/ Дадаян А.А.- М.: ФОРУМ: ИНФА-М,2004.
Математический анализ: задачи и решения : учебное пособие/ Г.И. Просветов. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.