Загадочное число ПИ

35»
Загадочное число ПИ
Работа на городскую научно-исследовательскую
конференцию «Шаг в

будущее»

Выполнил:
Олейник Юля,
ученица 10 А класса
Руководитель:
Третьякова Галина Валерьяновна,
учитель математики,
Луцык Наталья Анатольевна,
учитель информатики

Полысаево, 2008

окружающем нас мире.

π.
проблему квадратуры круга.
Рассмотреть:
2. Провести собственный опыт исследования по вычислению числа

ПИ.

3. Раскрыть загадочность числа ПИ.

приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника,

тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности

и начала анализа»
в 10 классе для измерения угла в

радианах,
при изучении темы
«Тригонометрические функции».

приписывают открытие важнейших теорем геометрии.
Ответ: Пифагор.

Математический ребус на тему числа

ПИ

классах мы встречаемся с этим удивительным числом в курсе физики

на таких темах как:
1. Движение тела по окружности:

Физика

- линейная скорость;

- угловая скорость, n – частота вращения

2. Механическое напряжение:

- S – площадь сечения (круга)

3. Период колебания математического маятника:

- коэффициент пропорциональности

5. Формула Томсона

4. Закон Кулона:

- период колебания груза на пружине

- период колебаний в колеблющемся контуре

них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того,

что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна:

пределе, если последовательно будем складывать такие числа:


Оказалось, что в

пределе мы получим . (Для доказательства Лейбниц пользовался приёмами высшей математики).

ещё глубже выясняется природа числа π. Полученные формулы для числа

π позволяют вычислить это число с большой точностью, не обращаясь к окружности и правильном многоугольникам, и при этом значительно легче и быстрее.

3. Аналогичный вопрос поставил перед собой Леонар Эйлер. Его интересовала «сумма чисел: ».

число π. Вот формула английского математика Джона Валлиса:

5. Удобнее для

вычислений ряд, получаемый разложением
при



Наилучшую формулу для вычисления числа π получил Дж. Мэчан, пользуясь также разложением в ряды . Он вычислил с точностью до 100 десятичных знаков.

6. Число встречается и в некоторых формулах неевклидовой геометрии, где оно, конечно, не является отношением длины окружности к её диаметру, а определяется число аналитически.

которое не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными

коэффициентами.

круга для π использовали
значение

2. Древнеримский архитектор Витрувий принимал

3. Архимед нашёл более точное приближение для числа π.
Он показал, что так что

три нечётных числа:

1, 1, 3, 3, 5, 5.
Три последних числа сделаем числителем, а три первых – знаменателем дроби .


Эта дробь позволяет вычислить π с точностью до седьмого знака.

с большим числом сторон и вычисляли периметр этого многоугольника, привлекая

«формулу удвоения». Периметр такого многоугольника и принимался равным числу π. Для оценки погрешности такого приближения приходилось рассматривать также периметры правильных описанных многоугольников

Чтобы вычислить приближенно число ПИ, в течение многих столетий поступали так:

построить квадрат, площадь которого была бы в точности равна площади

данного круга?

bc был равен 7/8 радиуса, dg- 1/2, отрезок de был

параллелен отрезку ас, a df— параллелен отрезку be. Тогда, как легко видеть, расстояние fg равно ,
или 0,1415929... Поскольку , отложим отрезок втрое длиннее радиуса, продолжим его на расстояние fg и получим новый отрезок, длина которого отличается от π меньше чем на одну миллионную.

окружности диаметром 10 см. Верхняя половина ограничена тремя четвертушками той

же окружности. Как быстро можно назвать с точностью до последнего десятичного знака длину стороны квадрата, имеющего площадь, равную площади этой фигуры?

провести так, как показано на рисунке, то станет видно, что

сегментами A, B, и C можно заполнить «лунки» A’, B’, и C’, при этом образуются два квадрата общей площадью 100 см2.

части так, чтобы из них можно было сложить квадрат

см.

***ВЫЧИСЛЕНИЕ пи***');
WRITELN;
WRITELN (' *** МЕТОД

МОНТЕ-КАРЛО ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО КАПЕЛЬ В КВАДРАТЕ?‘);
READLN(NKV);
WRITELN;
NKR:=0;
FOR I:=0 TO NKV DO
BEGIN
X:=RANDOM;
Y:=RANDOM;
IF X*X+Y*Y<=1 THEN NKR:=NKR+1;
END;
P:=4*NKR/NKV;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.

Результат

Метод Монте-Карло

REAL;
I, N:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
TEXTBACKGROUND(2);
TEXTCOLOR(7);
WRITELN(' ***ВЫЧИСЛЕНИЕ

пи***');
WRITELN;
WRITELN (' *** МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА? ‘);
READLN(N);
WRITELN;
DX:=1/N;
FOR I:=0 TO N-1 DO
BEGIN
F:=SQRT(1-SQR(X));
X:=X+DX;
A:=A+F;
END;
P:=4*DX*A;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.

Результат

N:INTEGER;
BEGIN
CLRSCR;
TEXTBACKGROUND(2);
TEXTCOLOR(7);
WRITELN(' ***ВЫЧИСЛЕНИЕ пи***');
WRITELN;
WRITELN ('

*** МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ***');
WRITELN;
WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЧЛЕНОВ РЯДА ТЕЙЛОРА? ‘);
READLN(N);
WRITELN;
S:=1;
FOR I:=1 TO N DO
BEGIN
F:=1/(2*I+1);
IF I MOD 2=0 THEN F:=F ELSE F:=-F;
S:=S+F;
END;
P:=4*S;
WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);
READLN;
END.

Результат

методах вычисления - чем больше значение N (либо – количество

капель в квадрате, либо – количество членов ряда Тейлора, либо – количество точек деления отрезка), тем более точнее вычисляется приближённое значение числа π. Из всех трёх методов более точнее работает метод Тейлора

бумаги. На листе провела несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние

между ними были равны и совпадали с длиной иголки. Чертёж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами.

На этот лист я бросала сверху иглу и подсчитывала, сколько раз при данном числе бросаний игла пересечёт одну из параллелей (безразлично какую).

при большем числе бросаний (n) дробь
и это равенство

будет тем точнее, чем больше будет число бросаний.

Идеальная дата рождения числа ПИ
14 марта 1879 года

разумного, я не побоялся прийти сюда и вам всё это

рассказать? Да потому, что для меня это и был единственный способ выжить. Теперь-то ПИ придётся или убить всех вас, или смириться с тем, что его тайна раскрыта. Будем надеяться, что Оно поступит разумно»

Вадим Косогоров: