Факультет фундаментальной подготовки
Кафедра теоретических основ связи и радиотехники (ТОС и Р)
располагается на 6-м этаже
В аудиториях №607, №609, №611, 613.
Дисциплина
Общая теория связи
Лектор:
Заведующий кафедрой
Шумаков Павел Петрович
Лекция № 4
Спектрально-корреляционный анализ детерминированных сигналов в инфотелекоммуникации.
Учебные вопросы:
Энергетические модели сигналов.
Корреляционные модели детерминированных сигналов.
Свертка сигналов.
Аналитический сигнал.
Литература:
Стр. 48..50; 53..54; 63..70
Используя MathCAD расчитать и построить АКФ :
Интегрированием по определению АКФ.
ОПФ от энергетического спектра.
Нечетные номера: треугольный и косинусоидальный .
Четные номера : Прямоугольный и SINC-образный .
Домашнее задание:
Спектры периодических сигналов.
Формы спектрального представления периодического сигнала
Квадратурная
Амплитудно – фазовая форма ряда Фурье
Комплексная форма ряда Фурье
АЧС –четная функция частоты (обладает симметрией в области положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечетная функция (обладает центральной симметрией)
Комплексная форма ряда Фурье
АЧС –четная функция частоты (обладает симметрией в области положительных и отрицательных частот)
ФЧС – нечетная функция (обладает центральной симметрией)
Прямое и обратное преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих. Для восстановления сигнала надо знать информацию об АЧС и ФЧС.
Прямое преобразование Фурье – операция анализа сигнала на основе определения его спектральных составляющих.
Физический смысл спектральной плотности сигнала
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом
Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.
Свойства преобразования Фурье . Теоремы о спектрах.
Теорема сложения спектров гласит: спектр суммы колебаний равен сумме спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания) формулируется следующим образом: при сдвиге колебания во времени (изменении начального момента отсчёта времени) спектральная плотность амплитуд сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на величину, пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на
приводит к смещению его спектра на величину ω0.
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во времени (a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1) приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: свёртка двух колебаний S1(t) и S2(t) соответствует перемножению их спектров.
Математический и Физический спектр непериодического сигнала
Сопоставим комплексную и амплитудно фазовую формы ОПФ
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом
Основными энергетическими характеристиками вещественного сигнала s(t) являются его мощность и энергия.
Мгновенная мощность определяется как квадрат мгновенного значения s(t):
Вопрос 1. Энергетические модели сигналов.
Энергия сигнала на интервале t2, t1 определяется как интеграл от мгновенной мощности:
Средняя мощность сигнала s(t) на интервале t2, t1.
i(t)
u(t)
s(t)
R=1
Распределение энергии в спектре непериодического сигнала
Рассмотрим выражение скалярного произведения
в котором f(t)=g(t)=s(t), и = S(jω)↔ s(t)
Равенства Парсеваля и обобщенная формула Рэлея.
Энергетический спектр сигнала
Распределение энергии в спектре вещественного непериодического сигнала
Эффективная ширина спектра сигнала
Полоса частот Δωэфф физического спектра сигнала в пределах которой находится основная часть энергии спектральных гармоник (например >90%)
Вопрос№2. Корреляционные модели детерминированных сигналов
Корреляция – количественная характеристика степени подобия (похожести) двух сигналов.
Корреляционная функция.
Корреляционная функция – зависимость корреляции двух в общем случае комплексных сигналов от временного сдвига τ между ними.
Для сигналов с ограниченной энергией.
Для сигналов с конечной средней мощностью.
Для периодических сигналов .
Это корреляционная функция двух одинаковых сигналов - самого сигнала s(t) и его копии, задержанной во времени s(t-τ), рассматриваемая как функция времени задержки τ.
Свойства АКФ вещественного сигнала R(τ).
Автокорреляционная функция вещественного сигнала (АКФ).
АКФ определяет взаимную энергию сигнала и его копии, задержанной во времени и измеряется в Джоулях.
АКФ действительная и четная функция сдвига во времени τ : R(τ )=R(- τ ) . График АКФ симметричен .
АКФ достигает максимума при τ=0 и максимальное значение АКФ равно ЭНЕРГИИ сигнала Еs. Поэтому R(0)=Es>R(τ )
АКФ R(τ ) и энергетический спектр сигнала
ОДНОЗНАЧНО связаны парой преобразований Фурье.
Связь АКФ сигнала R(τ) с его энергетическим спектром W(ω).
Однозначно восстановить сигнал s(t ) по его АКФ R(τ ) невозможно, так как энергетический спектр W(ω), а значит и АКФ не содержат информацию о фазовом спектре сигнала.
Это действительная периодическая корреляционная функция , измеряемая единицами средней мощности за период повторения (ВАТТЫ), четная по аргументу τ , максимумы повторяются через период повторения T.
Примеры:
АКФ периодического вещественного сигнала s(t+kT).
АКФ периодического сигнала связана с его линейчатым спектром через ряд Фурье:
Сигнал на выходе линейной системы
ЛС
(фильтр)
δ(t)
g(t)
s(t)
y(t)=s(t) g(t)
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
СВЕРТКА
ННУ
Частотная характеристика линейной системы
Вопрос 3. Свертка сигналов
Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:
Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки суммируются.
Свертка двух сигналов во временной и частотной области
Выполнение свертки в частотной области
X
s(t)
g(t)
S(jω)
G(jω)
y(t)
ППФ
ППФ
ОПФ
Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.
Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.
ОПФ
ОПФ
+w
-w
О
sc(t)
ss(t)
S(jw)
Сигнал, сопряженный с вещественным сигналом.
s(t) квадратурное дополнение аналитического сигнала.
Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта.
Вещественный сигнал и его квадратурное дополнение связаны преобразованием Гильберта
Преобразование Гильберта есть свертка сигнала и ядра 1/πt
Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта.
Линейная Дискретная свертка (свертка дискретных сигналов)
Длина первого N отсчетов, длина второго M отсчетов
Круговая (циклическая )Дискретная свертка
Обе последовательности имеют одинаковую длину N отсчетов
Чтобы выровнять длину последовательностей их дополняют нулями до длины
M+N-1.
Вычисление Линейной свертки с помощью циклической свертки
Линейная свертка = дополнить сигналы нулями и сделать циклическую свертку
Дискретное преобразование Фурье
Аналогично можно поступить и при расчете линейной свертки через циклическую.
Рассмотрим пример. Пусть , а . Прямое вычисление линейной свертки потребует (12 миллионов) операций умножения и сложения.
Дополним каждую из последовательностей до 8192 отсчетов нулями и применим алгоритм БПФ с прореживание по времени, тогда на вычисление одного БПФ потребуется операций комплексного умножения или 428000 операций действительного умножения. Таких блоков БПФ будет всего 3 штуки, плюс надо учесть 8192 комплексных умножений спектров, итого , что почти в 7.5 раз ниже чем если бы мы считали линейную свертку в лоб
Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть
Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.
