Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

сходящимися числовыми последовательностями.

бесконечно малой, если


ПРИМЕР 1. Покажем, что αn =1/n – бесконечно

малая.
Возьмем ∀ε>0.
Решив относительно n неравенство ⎜ αn ⎜= 1/n < ε, получим: n > 1/ε.
Возьмем N(ε) = [1/ε] + 1. Тогда
∀n ≥ N(ε) → ⎜ αn ⎜< ε.

пишут

ПРИМЕР 2. Покажем, что xn = (- 1)nn –

бесконечно большая.
Возьмем ∀ε > 0.
Решив относительно n неравенство ⎜ хn ⎜= n > ε и взяв N(ε) = [ε] + 1,
получим:
∀n ≥ N(ε) → ⎜ хn ⎜> ε.

На самом деле
предела здесь нет!







ПРИМЕР 3.
ПРИМЕР 4.

двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.
Пусть {αn} и {βn}

– бесконечно малые.
Покажем, что {αn ± βn } – бесконечно малая.
Возьмем ∀ε >0. Тогда, согласно определению бесконечно малой,
для ε1 = ε /2
∃ N1(ε /2)∈N : ∀n ≥ N1 → ⎜αn ⎜< ε /2,
∃ N2(ε /2)∈N : ∀n ≥ N2 → ⎜βn ⎜< ε /2.
Возьмем N(ε) = max{N1, N2}. Тогда, воспользовавшись свойством
модуля вещественного числа, для всех n ≥ N имеем оценку:
⎜αn ± βn⎜ ≤ ⎜αn ⎜ + ⎜βn ⎜< ε /2 + ε /2 = ε,
т.е. {αn ± βn } – бесконечно малая.

утверждение неверно, если число слагаемых растет
с ростом n. Например

бесконечно малые, а их сумма




т.е. в данном случае сумма не стремится к нулю при n → ∞.

бесконечно малая.

Доказательство.
Пусть {αn} – бесконечно малая, {xn} – ограниченная.

Покажем, что {αn·xn} – бесконечно малая.
Пусть С > 0 : ⎜хn ⎜≤ С ∀n. Возьмем ∀ε > 0. Тогда, согласно
определению бесконечно малой последовательности, для ε1 = ε / С
∃ N(ε /С)∈N : ∀n ≥ N(ε /С) → ⎜αn ⎜< ε/С.
Воспользовавшись свойством модуля вещественного числа,
для всех n ≥ N имеем оценку:
⎜αn·xn⎜≤ ⎜αn ⎜·⎜хn ⎜< (ε / С)·С = ε,
т.е. {αn·xn} – бесконечно малая.

СЛЕДСТВИЕ.
Произведение конечного числа числовых последовательностей, из которых хотя бы одна бесконечно малая, а остальные ограниченные, есть бесконечно малая.

является бесконечно малой тогда и только тогда, когда {1/xn}– бесконечно

большая.

Доказательство.
Пусть {xn} – бесконечно малая последовательность. Возьмем ∀ε >0.
Согласно определению бесконечно малой, для ε1=1/ε
∃ N(ε1)∈N: ∀n ≥ N(ε1) → ⎜ хn ⎜< 1/ε.
Отсюда следует, что ⎜1/ хn ⎜> ε для ∀n ≥ N, т.е. {1/xn} – бесконечно
большая.

Пусть {1/xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем
∀ε > 0. Согласно определению бесконечно большой, для ε1=1/ε
∃ N(ε1)∈N: ∀n ≥ N(ε1) → ⎜1/ хn ⎜> ε.
Отсюда следует, что ⎜хn ⎜< ε для ∀n ≥ N, т.е. {xn} – бесконечно малая.

числовая последовательность.

Доказательство.
Пусть

Это значит, что
∀ε > 0 ∃ N(ε)∈N: ∀n ≥ N(ε ) → | xn– а |< ε,
то есть xn – а = αn – бесконечно малая последовательность.

Пусть xn= а + αn, где αn – бесконечно малая. Из определения
бесконечно малой последовательности следует, что
∀ε > 0 ∃ N(ε)∈N: ∀n ≥ N(ε ) →| xn– а | < ε,
то есть

то

– бесконечно малая последовательность. Тогда,
согласно лемме,


Согласно лемме,
xn=

а + αn , уn= b + βn ,
где αn , βn – бесконечно малые последовательности. Тогда

a) xn ± уn= ( а + αn) ± ( b + βn) = (a ± b) + (αn ± βn),
где αn ± βn – бесконечно малая последовательность и,
согласно лемме,

= a·b + (аβn+bαn),
где аβn+ bαn – бесконечно малая

последовательность и,
согласно лемме,



c)


где

– бесконечно малая последовательность; то есть, согласно лемме,

то для любого числа С∈R





ЗАМЕЧАНИЕ.

В случае бесконечно больших последовательностей теоремы об арифметических операциях над ними неприменимы. Так, например, частное двух бесконечно больших последовательностей не всегда является бесконечно большой.