История развития и становления теории действительных чисел

открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов,

дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.

подвергалось

расширению и обобщению.

этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже

они научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека.

наука АРИФМЕТИКА. Спустя некоторое время Пифагор открыл неизмеримые отрезки, длины

которых не могли выразить ни целым, ни дробным числом. В дальнейшем возникает понятие «геометрическое выражение».

Благодаря первым открытиям математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако их долгое время не признавали равноправными числами. Их признанию способствовало появление «Геометрии» Декарта.

бесконечной

десятичной дроби. В 18в. Л.Эйлер и

И.Ламберт показали, что

всякая

бесконечная периодическая десятичная

дробь является рациональным числом.

рациональных и иррациональных чисел.

Z – множество целых чисел (образуют натуральные числа, им

противоположные и 0: …-2;-1;0;1;2…)
Q – множество рациональных чисел
(вида m/n, где m Є Z, n Є N: 1/3; -6,75; 1/2, √16…)




Примеры: √16 = 4 = 4,0; 1/3 = 0.3333…= 0,(3); 1/2 = 0,5;
8/13 = 0,61538461538461…= 0,(615384)

Любое рациональное число можно представить в виде

конечной или бесконечной периодической дроби.

π……. )
Любое иррациональное число нельзя представить в
виде периодической

дроби.

Примеры: √3 ≈ 1,73205080…; π ≈ 3,1415926…

Множество рациональных и иррациональных чисел
образуют множество действительных чисел (R)

или нуль.

из рациональных, была развита лишь во 2-й половине 19 в.

трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора.


Множество всех д. ч. называется числовой прямой и обозначается R.


Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К.Вейрштрассом.

числовой прямой имеет несколько различных формулировок.

Принцип Вейерштрасса: всякое непустое

ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань.

Принцип Дедекинда: всякое сечение в области д. ч. имеет рубеж.

Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[an, bn]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.