Логарифмы и их свойства

И И Х С В О Й С

Т В А .

Возведение в степень имеет два обратных действия. Если

а х = b,

то отыскание a есть одно обратное действие – извлечение корня; нахождение же b – другое,

л о г а р и ф м и р о в а н и е.

Для чего были придуманы логарифмы ?

Конечно, для ускорения и упрощения вычислений.

(1)

1

старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки

вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики».

Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретением десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера:

«Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать и головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление».

2

изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал:
«Милорд, я предпринял это долгое

путешествие только для того, чтобы видеть Вашу особу и узнать, с помощью какого инструмента разума и изобретательности Вы пришли впервые к мысли об этом превосходном пособии для астрономов, а именно – логарифмах; но, милорд, после того, как Вы нашли их, я удивляюсь, почему никто не нашел их раньше, настолько легкими они кажутся после того, как о них узнаёшь».

Великий математик говорил об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

3

Е.
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в

которую нужно возвести основание a, чтобы получить b (где а> 0, а≠1).

Вспомните уравнение из первого слайда: а х = b
Мы оговорили, что нахождение b – логарифмирование. Математики договорились записывать это так:

Log a b = x

(читается: «логарифм b по основанию a»).

Например,
log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.

Log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16.

Log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27.

Log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9.

4

64; log 2

2;
Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);
Log 3 27; log 3 81; log 3 3;
Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);
Log1/2 1/32; log1/2 4; log0,5 0,125;
Log0/5 (1/2); log0,5 1; log1/2 2.

Вычислить:

5

log 2 64;

log 2 2;
Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);
Log 3 27; log 3 81; log 3 3;
Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);
Log1/2 1/32; log1/2 4; log0,5 0,125;
Log0,5 (1/2); log0,5 1; log1/2 2.

Таблица ответов.

Если Вы всё выполнили верно, перейдите к слайду 8. Если выполнили с ошибками – перейдите к слайду 7.

6

как 2 4 = 16.
Log 2 1 = 0, так

как 2 0 = 1.
Log 3 27 = 3, так как 3 3 = 27.
Log ½ 1/32 = 5, так как (1/2) 5 = 1/32.
Log 0,5 (1/2) = 1, так как (0,5) 1 = (1/2)1 = ½.

Проверьте 2 и 3 столбец, исправьте ошибки самостоятельно. Если появились вопросы – обратитесь к учителю.

равенство справедливо при b>0, а>0, а≠1. Его обычно называют
основным

логарифмическим тождеством.

Например: 2 log 2 6 = 6; 3 – 2 log3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25.

Вычислите:

3 log 3 18; 3 5log 3 2;
5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6;
10 log 10 2; (1/4) log(1/4) 6;
8 log 2 5; 9 log 3 12.

8

Если выполнили с ошибками, откройте слайд 10 и разберите решение.
Сравните

со своими ответами !

3 log 3 18; 3 5log 3 2;
5 log 5 16; 0,3 2log 0,3 6;
10 log 10 2; (1/4) log(1/4) 6;
8 log 2 5; 9 log 3 12.

9

появился вопрос – обратитесь к учителю.

О Г А Р И Ф М О В .
Log

a 1 = 0; log a a = 1; log a (1/a) = - 1; log a a m = m;
Log a m a = 1/m.

11

= log 6 (18·2) = log 6 36 = 2
Log

12 48 – log 12 4 = log 12 (48/4) = log 12 12 = 1

А здесь выполните вычисления самостоятельно:

Log 10 5 + log 10 2;
Log 12 2 + log 12 72;
Log 2 15 – log 2 (15/16);
Log1/3 54 – log1/3 2;
Log 5 75 – log 5 3;
Log 8 (1/16) – log 8 32;
Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20;
Log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;

12

= log 10 (5 . 2) = log 10 10

= 1

Log 1/3 54 – log 1/3 2 = log 1/3 (54/2) = log 1/3 27 = -3

Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 = log 8(12/15) + log 8 20 =
= log 8 (4/5 . 20) = log 8 16 = 2

Остальные задания проверьте самостоятельно. Если появился вопрос, обратитесь к учителю.

И таблица ответов:

то Ваше домашнее задание:
п.37, № 489, № 490, № №

495(b,в), №496(b,в,г).

Если при выполнении предложенных заданий Вы испытывали затруднения и не смогли всё выполнить правильно, то Ваше домашнее задание:
п.37, № 476, № 483(b,в), № 488, № 495(b,в).

НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ

ОБРАЗОВАНИЮ.»

16

Я. А. КОМЕНСКИЙ.