Методы оптимального планирования экспериментов

идеи кибернетики. Основоположником планирования эксперимента был известный английский ученый Ренальд

Фишер (1900—1962 гг.), с именем которого связано развитие современной математической статистики. В 1919 г. он начал работать в Рочдемтерской агробиологическую станцию обрабатывая результатов агробиологических наблюдений. В 1923 г. появилась его первая работа по планированию эксперимента. В 1929 г. в Калькутте была организована лаборатория для дальнейшего изучения и практического применения первой строго формализованной стратегии эксперимента. В 1935 г. вышло первое издание известной книги Р. Фишера (R. A. Fisher. The Design of Experiments).

цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном

количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.
Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.
Все эти методы объединяются под названием планирования оптимального эксперимента. В их основе заложены принципы поэтапного решения задачи, в котором на каждом из этапов повышается сложность модели с использованием большинства результатов предыдущих опытов, что обеспечивает минимум экспериментов для получения окончательного решения.

они определяют факторное пространство модели;
Y – выходная функция или функция

отклика модели;
Белый шум – все не учитываемые факторы попадают сюда и составляют суммарную погрешность модели

оценивать (измерять) работу объекта исследования;
Статистически эффективной, иметь возможно меньшую

дисперсию при проведении опытов;
Отражать как можно более широкий спектр функций исследуемого явления, обладать универсальностью (практически это требование обеспечить трудно, тогда рекомендуют пользоваться обобщенной переменной);
иметь достаточно четкий физический смысл.
Удачный выбор выходной переменной определяется уровнем знания технологии и объекта.

от хmin до хmax;
точность измерения и управления фактором должна быть

известна и достаточно высока (хотя бы на порядок выше точности измерения выходной функции), низкая точность измерения фактора уменьшает воспроизведения эксперимента;
связь между факторами должна быть как можно меньшей (в пределе должна отсутствовать), это называют однозначностью факторов, что соответствует независимости их друг от друга.

выходной функции, они должны иметь общие области определения.
При нахождении

факторов в их заданных пределах, значение выходной функции должно оставаться в своих границах.
Между факторами и выходной функцией должно быть однозначное соответствие (причинно-следственная связь), которую мы обычно и хотим найти.

для автомасштабирования факторов факторное пространство преобразуется с безразмерную систему координат

(Z1, Z2):

Функция отклика


Кодированное значение


Натуральное значение

на любом этапе согласно начальной постановке:
определить значения выходной функции и

значимость входных параметров (их вклад в исследуемую функцию) в заданном факторном пространстве;
построить линейную модель для САР или поиска направления движения в область экстремума функции по наикратчайшему пути вдоль её градиента от центральной точки построенного плана;

лучшей точки для ведения процесса или работы аппарата;
попав в область

экстремума построение плана второго порядка для описания процесса или аппарата более сложных зависимостей, описывающих объекты в области экстремумов.

на линейных моделях с использованием классических МНК и дисперсионного статистического

анализа. Они реализуются возможные комбинации факторов на всех выбранных уровнях. Общее число опытов для полного факторного эксперимента в случае, когда реализуются все комбинации факторов, равно N=2n

n=3, N=8

дисперсий по всему факторному пространству

основании двух опытов, для двухпараметрической модели остается один опыт. Трёх

и более параметрические модели становятся ненасыщенными и имеются опыты, которые можно использовать для других факторов, что реализуется в дробных планах.

которых можно выбрать три.
Однако, надо помнить, что найденные коэффициенты будут

содержать в себе и влияние самой связи, если она существует

формул: для Z – =(-1)^ОКРУГЛВВЕРХ(N/2^(n-1);0)
Для Х – =Xcp+dX*Z

опросом специалистов. Ранжированием выделенных параметров по их значимости и выбором

основного набора входных параметров для исследования.

Если число
входных параметров велико, то

Проведение экспериментов по отсеиванию малозначимых входных факторов с использованием метода случайного баланса (МСБ)

Построение матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ-2n), построение регрессионного уравнения и проверка его адекватности.

Дополнение матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ-2n) звездными точками до получения центрального композиционного плана (ЦКП)

Если модель
адекватна

Проведение экспериментов крутому восхождению вдоль градиента в область экстремума до новой точки следующего плана ПФЭ

нет

нет

да

да

Алгоритм проведения оптимального исследования

Линейная модель САР

дисперсионный анализ (анализируемые уровни выражены качественными значениями (именами факторов) и

их значения заменены рангами). Наиболее значимым параметром является тот, который имеет наименьшую сумму рангов.
Согласованность экспертов оценивается через коэффициент конкордации и его значимость проверяется с помощью критерия Пирсона.
В качестве уровней дисперсионного анализа выступают оцениваемые факторы, а параллельные испытания по каждому из них формируются из мнения экспертов.

информации. Их анализ показал нам, что в исследуемом объекте имеются

6 входных параметров. Готовим опросные карточки

по их значимости: Х6→ Х5→ Х2→ Х4→ Х1→ Х3

фактора на выходную функцию при условии наличия линейной связи в

интервале от минимального до максимального значения параметра.
Оценки влияния каждого фактора рассматриваются как независимые от остальных, то есть их влияние рассматривается как «белый шум».
Наличие в исследуемом интервале экстремумов функции приводит к ошибочным результатам, так же к ошибкам ведут неудачно выбранные границы интервалов по разным параметрам.

выходной функции) при изменении каждого входного параметра от его минимального

до максимального значений. Данное решение строится через построение диаграмм рассеяния для каждого
входного фактора. Здесь видно, что Х2 и Х4 имеют равные размахи, но Х2 содержит все точки как выпадающие. Поэтому самым значимым фактором является Х2

сводим в краткую таблицы
Формируем в подвале таблицы заголовки строк

и их расчетные формулы
=МЕДИАНА(ЕСЛИ(B25:B32=-1;$G25:$G32))
формула-массив завершаем ввод Ctrl+Shift+Enter
=B34-B33 – (М+ - М-)

Копируем формулы на все столбцы параметров и выделяем максимальный размах (по абсолютной величине)

второго шага используем значение функции из первой строки первого шага,

выделенный размах и значение Zi на соответствующих строки и столбца. Копируем на все значения Y для второго шага

скопирована на остальные ячейки столбца Y, то размах для выбранного

Zi должен стать равным 0. Удаляем над этим нулем формулы для вычисления медиан. Находим следующее наибольшее значение размаха (по абсолютной величине), выделяем его цветом. Копируем всю таблицу данных с блоком формул и вставляем все ниже соблюдая число пропущенных строк между таблицами. Корректируем формулу для расчета Y, перемещая размах на новую, выделенную цветом, ячейку и значение Zi в столбец над размахом.
Если все выполнено правильно, то очередной размах станет равным 0. Повторяем операцию до тех пор, пока для всех входных параметров не будут определены их размахи.

шаге мы получа-ем несколько (обычно не более 2-х) одинаковых размахов,

тогда надо построить диаграмму размахов для данных входных параметров и сосчитать у какого из них больше выпадающих точек.
Данная задача решается следующим образом:
Заполняем строку с номерами параметров;
Приравниваем заголовок Yэкс и копируем эту формулу вниз;
Записываем формулу в ячейки таблицы:
=I$37+0,1*B38
где: I$37 – адрес ячейки с номером параметра в заголовке таблицы; B38 – адрес ячейки со значением Zi.
Скопируем формулу на всю таблицу.

Yэкс;
Строим диаграмму – точечная – только маркеры;
Вызываем команду «Выбрать данные»

и добавляем следующий параметр с набором Yэкс;
Настраиваем диаграмму, чтобы хорошо было видно точки и считаем выпавшие из них.
На графике внизу показана диаграмма для всех пяти входных параметров, выпавшие точки по параметрам имеют следующие значения: X1 – 0; X2 – 8; X3 – 2; X4 – 6; X5 – 2.

размахов (=Abs()), которые выбираем из закрашенных ячеек (где закраска появилась

первый раз) ;
Копируем данную таблицу и вставляем только значения;
Сортируем скопированную таблицу по второму столбцу в порядке убывания;
Строим гистограмму.

полный (дробный) факторный эксперимент. Выполняем испытания, проводим обработку данных, получаем

регрессионную модель, которая описывает наш объект.
Если модель адекватна, то можно использовать данную модель для управления процессом в этой локальной области или воспользовавшись методом крутого восхождения найти новую точку в которой построить следующий план.
В противном случае (модель не адекватная) мы оказались в области экстремума и необходимо повышать сложность модели до второго порядка.
Графически алгоритм представлен далее.

Y4
Yэ1
ПФЭ 222→ ЦКП

котором по результатам эксперимента на объекте исследования можно найти его

математическую модель. Полученная модель (обычно полином) называется уравнением регрессии.
Степень приближения уравнения регрессии к реальному объекту зависит не только от экспериментальных данных, но и от метода построения полинома. В качестве такого метода обычно выбирают метод наименьших квадратов, являющийся частным случаем метода максимума правдоподобия для случайных переменных с нормальным законом распределением.
Уравнение подвергается статистическому анализу, основанному на оценках различных дисперсий: проверяются однородность дисперсий, значимость коэффициентов и адекватность уравнения регрессии.

предпосылок, выполнение которых гарантирует достоверность анализа полученной математической модели:
Выходная переменная

— случайная величина с нормальным законом распределением; факторы — неслучайные величины; это означает, что ошибки в управлении факторами по крайней мере на порядок меньше ошибок при измерении выходной переменной.
Связь между факторами отсутствует или её надо учитывать.
Дисперсии выходной переменной однородны в любой точке факторного пространства.
Исследуемый объект лишен динамических свойств (рассматриваются стационарные режимы объекта).

испытаний в каждой точке факторного пространства, и получаем статистические оценки

для каждой точки. Анализ этих данных может указать на наличие областей с большими погрешностями. Данная проверка выполняется с помощью критерия Кохрена, по следующей схема:




где: Si2 – строчная дисперсия с серии из m – параллельных опытов в плане с N – точками в плане эксперимента.

далее.
В противном случае ищется причина неоднородности дисперсий. Это обычно случайные

или систематические ошибки во время экспериментов.
Наличие случайных ошибок обычно возникает при неоднородности строчных дисперсий в одном опыте. Систематические ошибки возникаю в нескольких строках матрицы плана и связаны с низкой точностью методики из-за малого шага изменения параметра или при влиянии не учитываемого фактора, который становится значимым в определенных условиях данного плана.

и проверяем их значимость с помощью критерия Стьюдента:





где: zi,j –

кодированные значения параметров; yi – средние значения функции.
Если коэффициент не значим, то его значение приравнивается нулю, это говорит о том, что либо выбран недостаточный интервал варьирования параметра или в интервале имеется экстремум функции

модель адекватна, то она может использоваться для САР или на

её основании можно реализовать крутое восхождение. При неадекватности модели и нулевых или маленьких значениях коэффициентов надо переходить к моделям второго порядка. Другая причина неадекватности – недостаточный интервал или низкая точность методики.

в одной точке плана, что несколько упрощает расчет и исключает

проверку на однородность дисперсий;
С проведением разного числа параллельных испытаний в каждой точке плана, что однозначно усложняет расчеты, требуя учета разного числа m для своих строк;
С оценкой наличия взаимосвязей между параметрами, что требует расширения таблицы параметров с представлением всех возможных взаимосвязей и выполнения дальнейшего расчета. Данный план обычно получается насыщенным, но он позволяет выбрать наиболее подходящие параметры для перехода к дробным планам.

модели исследуемого объекта особенно при числе факторов n>3, но увеличение

числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. n=6 – N=64, n=7 – N=128. Конечно точность решений возрастает.
Для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обойтись и меньшим количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента (или дробных реплик).
Однако сокращение числа опытов влечет за собой появление корреляции между некоторыми столбцами матрицы планирования. Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффект факторов и их взаимосвязей. Возникают смешанные оценки.
Запись ДФЭ имеет вид 2n-p, где р – число дополнительных факторов, n – общее число факторов.

которые могут быть использованы для дополнительных факторов:
Если мы добавим Х4,

то получим полу реплику, X4 и Х5 – четверть реплики и т.д.
Например, подставив Х4 в первый столбец с взаимосвязью Х1Х2 мы получим коэффициент b4 = β4 + β12, если эта связь значима, то она будет вносить погрешность на влияние Х4

восхождение в область экстремума по градиенту.
Движение по градиенту предполагает наиболее

быстрый подъем вверх или спуск вниз. Градиент определяется производными по каждому входному параметру. Для пропорционального движения вдоль градиента обычно задается желаемый шаг, который задает перемещение к очередной точки по максимальной производной, по остальным параметрам шаг находится отношением значения производной по данному параметру к максимальной производной.
Опорный шаг принимается в интервале от 0,1 до 0,5 в кодированных значениях. Начальная точка берется в центре ПФЭ. Через каждые 5-6 расчетных значений функции проводится экспериментальный её замер.

оптимального плана исследований, получение нелинейной модели и ее статистический анализ.

Модель применяется для поиска координаты оптимума и может использоваться для целей интерполяции и экстраполяции.
Построить данные планы с помощью ранее рассмотренных схем не удается потому, что нарушается условие ортогональности (сумма элементов столбцов не равна нулю). Требуется поставить большое число опытов (3n). Планирование на трех уровнях неэкономично и потому предложено дополнить план ПФЭ 2n определенными точками факторного пространства так, чтобы выполнялось условие ортогональности или ротатабельности, но при этом число опытов таких планов было меньшим, чем ПФЭ 3n :
N = 2n + 2n + N0 < 3n

2n, «звездных» точек и опытов в центре плана. Большим преимуществом

этих планов является то, что их можно получать из планов ПФЭ 2n. Для построения используется план 2n, линейная модель по которому при поиске области оптимума оказалась неадекватной. Все проведенные эксперименты остаются, а план дополняется определенным количеством специально подобранных «звездных» точек. Отметим, что дробная реплика предыдущего плана в новом плане дополняется до полного факторного эксперимента, если n≤4; при n>4 возможно использование дробных реплик. Эти планы называются центральными композиционными планами. Выбор плеча «звездных» точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности плана. В инженерной практике применяются ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.

типа плана
Центральная точка

«звездной» точки для рототабельных планов второго порядка

но требуют дополнительных вычисления для нахождения коэффициентов при квадратах параметров

и при взаимосвязях. При проверке значимости коэффициентов их дисперсии имеют разные значения для всех видов коэффициентов (свободный член, линейные члены, взаимосвязи и квадратные члены).

Расчеты по результатам ЦКРП существенно сложнее из-за их не ортогональности. При нахождении незначимых коэффициентов при членах второго порядка необходимо выполнять полный перерасчет результатов.

Если нелинейная модель, полученная по ЦКП, неадекватна, то возможны изменение порядка полинома (переход к полиному третьего порядка) или добавление новых факторов в уравнение регрессии или тщательный анализ ошибок в эксперименте.